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学年论文
题目数学中的归纳法
学生王旭
学号 2005025669
指导老师鲍曼
年级 2005级10班
学院数学与计算机科学学院
系别数学系
哈尔滨师范大学
2007年6月
论文提要
所谓数学归纳法,就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.
归纳法的逻辑结构是:设(i=1,2,…,n)是要研讨对象M的特例或子集,若(i=1,2,…,n)具有性质P,则由此猜想M也有可能具有性质P,简记为:

另一种表达法是:
M蕴含,
为真,
M也可能真。
若是M的真子集,这时的归纳法称为不完全归纳法。它的结论未必是可靠的,但应用方便并具有发现的功能,如果,这时的归纳法就称为完全归纳法,由于穷尽了被考察对象的一切特例以后才作出结果,因而结论是确凿可靠的。
数学归纳法使将一个无穷的归纳过程,根据归纳公理转化成一个有限的特殊演绎(直接验证和演绎推理相结合)过程,所以它有证明的功能,它的逻辑结构是:
如
{.
数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的.
不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度.
人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法.
数学中的归纳法
王旭
摘要:所谓数学归纳法,就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.
归纳法在数学中运用十分广泛.
关键词:数学归纳法数学归纳法的特点

一归纳法的特点
归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容.
归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质.
归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.
由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.
例如多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
立方体
6
8
12
三棱柱
5
6
9
五棱柱
7
10
15
方锥
5
5
8
三棱锥
4
4
6
五棱锥
6
6
10
分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论:
.
尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形.
又如,已知函数,,:
;
;
于是,可以自然地归纳出结论:
.
有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它.
二求同法
某种被研究的对象,在几种不同的情形下都出现,而在各种情形中只有一个条件是共同的,于是,就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因.
它的公式可以表示为:
情形各种条件被研究的对象
I
II
III

可以认为A是a的原因.
两个边长相等的正方形,其中一个正方形某顶点重合于另一个正方形的中心O,并绕O点旋转,无论旋转到任何位置,,这个现象产生的原因只在于两个多边形边长相等而且是正多边形,它与边数的多少无关.
伽利略观察到,摆长相等﹑振幅不相等时,摆动一个周期的时间不变,于是,肯定了摆长是周期的决定因素.
三求异法
某种被研究的现象a,只有在第I种情形出现,在第II种情形不出现,而I﹑II两种情形除I有条件A而II没有条件A外,其余条件都相同,于是,可以认为A是现象a产生的原因或部分原因。
求异法的公式是:
情形各种条件被研究的对象
I
II —

可以认为是现象a产生的原因或部分原因
在种子、土地、气温相同的条件下,如果施用有机肥,产量就低。由此可以说明,施用有机肥时增产的原因,在相同的饲养条件下,如果给牛播送轻音乐,则牛奶产量高