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单摆教学中的几个等效问题
魏自成
在物理问题中, 一个过程或一个状态的确定,往往由多个因素所决定,在这些因素中,有些或某一个因素是等效的,他们可以互相代替,而对过程中发展规律和状态的确定及最后结果无影响,这种研究问题的方法就是等效法。尤其是一些问题,从正面分析求解时,演算冗长,计算复杂或超出中学数学知识范畴。若用等效替代法,则能独辟路径,化繁为简,收到事半功倍的效果,本文以单摆为例,阐明存在的几个等效问题。
悬点的等效
一、l为等效摆长
摆长的等效
图一
例1、如图1、三根等长的绳L1、L2、L3共同系住一密度均匀的小球m,球的直径为d,L1、L2、与天花板的夹角α<30°若摆球在纸面内做小角度的左右摆动,则振动周期T1= ;若摆球在垂直于纸面的平面内小角度摆动,则振动的周期T2=
解析: 摆球在纸面内做简谐运动,O1为圆弧的圆心,也为悬点,摆长为L1+d/2,周期T1=

摆球做垂直于纸面的简谐振运动,摆动圆弧的圆心在O点,所以等效摆长为L1+L2sinα+d/2,周期T2=
例2、如图2、一双线摆两摆线长都是L与水平天花板
夹角为α了,当摆球在垂直纸面内做简谐运动时,此摆周期T=
解析: 此悬点等效在O点,摆长为l,==
图二
二、g理解为等效加速度
例如单摆置于加速度为a且匀加速上升的升降机中,处于超重状态,加速度g’=
(g+a),此时回复力切向分力视重为m(g+a),不论摆处于什么情况下,在其平衡位置
“产生”加速度可等
效为单摆的“重力”加速度,
例3、如图3 ,在倾角为α的光滑斜面上,有一摆长为l的单摆,球的质量为m,
图三
当单摆运动时,求其周期。
解析: 小球在振动时,静止在o点,所以其平衡位置是o点,等效重力是(mg)’=
Mgsina,等效加速度g’=gsina,则单摆周期T=2π
例4 如图4 所示,光滑斜面倾角为θ了,斜面上有一挂有单摆的小车,在小车下滑过程中,单摆同时振动,已知摆长为l,求单摆的振动周期。
解析: 小球若不摆动,随小车一起加速下滑,其平衡位置如图所示,悬线拉力
即视重T=mgscosθ,单摆做简谐运动时,等效重力加速度g’= =gcosθ则小球周期 T=2π
图四
三、模型的等效
很多振子的振动,虽然不是单摆的真实振动,但有一