第一章 误差 本章的主要内容 误差的来源 误差和误差限的概念及计算.doc

第一章误差
本章的主要内容
误差的来源
误差和误差限的概念及计算
(绝对)误差,(绝对)误差限,相对误差,相对误差限.
准确数位,有效数字的判断
代数运算结果的误差,误差的传播等概念.
本章重点、难点
误差和有效数字的概念和计算,误差的传播
一误差及其来源
误差的来源主要有:模型误差,观测误差,截断误差,舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。
二(绝对)误差和相对误差
误差和误差限
误差(绝对误差)是近似值x与准确值x*的差,即。误差是一个有量纲的量,且可正可负。
误差限一般地,由于准确值难以得到,所以在估计误差时总是考虑它的一个上界(误差限),即使
则准确值的取值范围为,通常表示为
确定误差限的方法有两种
,确定出第一个不为零的数的位数, 则取这一个位数的半个单位的数作为误差限。即,
,确定出第一个不为零的数和它的位数,则取这一位数上的第一个不为零的数+1的数为误差限。
一般地,我们采用第一种方法确定误差限。
例1 已知,求的误差限。
因为,
又
所以误差限既可以取,又可以取。
一般地我们取误差限为。
相对误差是近似值x的误差与准确值x*的比值,即
,
一般地,由于准确值x*很难得到,所以常用近似值x去代替准确值x*计算相对误差,即常用下列公式进行计算

相对误差限我们也可以考虑相对误差的一个上界εr,称它为近似值x的相对误差限。它的计算公式

通常我们用近似值x做分母计算相对误差限,即
。
确定相对误差限的方法是:根据相对误差的值,确定出第一个不为零的数和它的位数,则取这一位数上的第一个不为零的数+1的数作为相对误差限εr。
例2 已知,求的相对误差限。

所以,相对误差限
误差、误差限都是用来衡量近似值x的准确程度的量,误差越小,近似值x的准确度越高。但是,误差是一个有量纲的量,所以,只能用来衡量同一量的不同近似值x的准确程度,而对于不同量的不同近似值x的准确程度则需用相对误差来衡量。
三准确数位与有效数字
准确数位与有效数字的判断既是本章的重点也是难点.
有效数字――如果近似值x的误差限e是它某一个数位的半个单位,我们就说x准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字.
准确数位的判断方法是求出误差限,则准确数位就是误差限的位数。
一般地,判断有效数字有两种方法:

一般地,若已知近似值 x的准确值x* ,则用定义判断近似值 x的有效数字。
判断步骤:
将近似值 x表示为浮点近似数,确定出阶数m,
估计(相对误差)限ε(一般地取某一位数的半个单位), 根据有效数字的定义:,出有效数字p 。

一般地,若不知道近似值 x的准确值x* ,则用四舍五入方法判断近似值 x的有效数字。此方法应用的更多。
判断步骤:
用四舍五入法得到近似值x;
若该数从第一个不为零的数字开始到末位数字的个数为p,则有效数字为p 。
所以,只要搞清近似值x的第一个不为零的数字到末位数字的位数,就能确定出有效数字。
我们约定:原始数据都要用有效数字表示,凡不标明误差限的近似数都认为是用四舍五入得到的有