高等数学第十章无穷级数.ppt

第十章无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的审敛法
幂级数
将函数展开成幂级数
傅里叶级数
常数项级数的概念与性质一、引例 引例[无限循环小数问题] 级数的初步思想实际上已经蕴涵在算术中的无限循环小数概念里了。我们知道,将1/3化为小数时,就会出现无限循环小数,1/3=,,看从中能得到什么启示.
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一般地,可以得到如下一个表达式
显然,如果n→∞,那么我们就得到
即
这样,1/3这个有限的数量就被表示成无穷多个数相加的形式. 从这个例子中我们可以看到,无穷多个数相加可能得到一个确定的有限常数,从而,无穷多个数相加在一定条件下是有意义的.
二、常数项级数的概念 定义1 对于无穷数列u1,u2,…,un,…把它的各项依次累加的表示式 u1+u2+u3+…+un+…(1)称为无穷级数,简称为级数,记为. 其中u1称为级数的第1项(或首项),u2称为级数的第2项, …,un称为级数第n项,也称为通项或一般项. 如果un是数值,则级数称为常数项级数;如果un是函数,则级数称为函数项级数.
现在的问题是这种无穷累加是否有“和”呢? 这个“和”的确切含义是什么? 为回答这个问题, 我们假设以S1,S2,…,Sn,…分别表示无穷级数(1)的前1项和,前2项和,…,前n项和,…,即 S1=u1,S2=u1+u2,…,Sn=u1+u2+…+un,…这样,就得到一个数列{Sn}: S1,S2,…,Sn,…由极限定义,不难想到,当n无限增大时,若上述数列有极限, 则这个极限值就是无穷级数(1)的和. 级数(1)的前n项和称为级数的部分和,记为Sn, 即 Sn=u1+u2+…+un于是, 级数(1)是否存在和就转化为由部分和组成的数列{Sn}的敛散性问题.
定义2 对于级数的部分和数列{Sn}, 若n→∞时有极限为S, 即则称该级数收敛,S称为级数的和, 即此时,也称级数收敛于S. 若数列{Sn}没有极限, 则称该级数发散. 当级数收敛时, 其和S与部分和Sn的差称为级数的余项, 记为Rn,即 Rn=S-Sn=un+1+un+2+…在近似计算中,以部分和近似代替级数的和,所产生的误差|Rn|≤un+1.
(2)
例1 判别级数1+2+3+…+…是否发散. 解该级数的部分和为
显然, ,因此所给级数是发散的.
例2 判断级数的敛散性.
解由于
因此
从而
所以该级数收敛,其和是1.
例3 判断级数的敛散性.
解由于
于是有
因为
所以级数发散.
三、无穷级数的性质 性质1 若级数收敛,其和为S, 则对任一常数k,级数也收敛,其和为kS. 性质2 若级数与分别收敛于S1与S2,则级数 也收敛,且其和为S1±S2.
性质3 若级数收敛,则对该级数的项任意加(或去)括号后,所成的级数仍收敛,且其和不变.
性质4 增加、去掉或改变级数的有限项,不改变级数的敛散性.