求三角函数值域的常用方法
有关三角函数的值域(最值)的问题是各级各类考试考察的热点之一,这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想,采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法,不仅能加强知识的纵横联系,巩固基础知识和基本技能,还能提高数学思维能力和运算能力。
一、利用三角函数的有界性求值域
1、形如y=asinx+bcosx+c型引入辅助角公式化为sin(x+φ)+c再求值域.
例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+)的值域
2、形如y=asin2x+os2x型通过降幂转化为Asinx+Bcosx再求值域.
例2、(2011重庆高考)设,,满足,求函数上的最大值和最小值
二、用换元法化为二次函数求值域
1、形如y=sin2x+bsinx+c型令sinx=t转化为二次函数再求值域.
例3、(2011北京卷)已知函数
(1)求的值
(2)求的最大值和最小值
2、形如y=asinx·cosx+b(sinx±cosx)+c,换元令sinx±cosx=t
转化为二次函数在上的值域问题
三、根据代数函数的单调性求值域
形如y=sint+,令sint=x,根据函数y=x+的单调性求值域.
例6、θ∈(0,π),则函数y=sinθ+的值域为_________.
形如y=型,可用分离常数法转化为y=x+再求值域.
例5、求函数y=的值域.
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