线性代数-相似矩阵.doc

第五章相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度、正交性
一、向量空间的内积、长度和夹角
:
内积的符号:括号或方括号

(1)对称性
(2)
(3)
(4)正定性:,的充要条件是

的单位化向量:

(1)非负性
(2)齐次性
(3)柯西不等式:
(4)三角不等式:
证(3)

设,是Rn的两个非零向量,规定它们的夹角为
(0 ≤≤)

若,则称正交,即=
二、向量空间的单位正交基

一组非零的n维向量,如果他们两两正交,则称之为正交向量组。
正交向量组线性无关
P113
例1 已知两个向量a1=(1,1,1)与a2=(1, -2, 1)正交, 求一个非零向量a3 , 使之这三个向量两两正交。
解设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足
(a1,a3)= 0, (a2, a3)= 0
即 x1 + x2 +x3 = 0, x1-2x2 +x3=0
这是一个齐次线性方程组AX= 0,
即,
由,
得,方程组的通解为,即
取c = 1, 则a3=即为所求。
、规范正交基(单位正交基)
正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。
规范正交基(单位正交基)——正交基中的向量是单位向量。

施密特方法:将基改造为正交基(P114)
例2 用施密特方法把基正交化(P114)
例3 已知,求一组非零向量,使两两正交。
解应满足,即
解这个齐次线性方程组得,通解为
,即,基础解系为
,把基础解系正交化
,于是得
三、正交矩阵

若A是一个n阶实矩阵,且满足,称A 是正交矩阵。
因为
所以 A是正交矩阵←→(充分必要)

定理
n阶正交矩阵←→列(行)向量组是Rn的单位正交基。
证(略)
堂上练习下列矩阵是不是正交矩阵
,

(1)若A为正交矩阵,则为正交矩阵
(2)若A,B为同阶正交矩阵,则AB也为正交矩阵
(3)若A为正交矩阵,则det(A)=1或det(A)=-1
(略)
定义5 若P为正交矩阵,则线性变换Y= PX称为正交变换
正交变换保持向量的内积、长度、夹角
P---正交矩阵
(PX, PX)= (X, X)
|| PX || = || X ||
5. 矩阵的QR分解(略)
设A是满秩n阶矩阵,则存在n阶正交矩阵Q和上三角矩阵R,使得A=QR
证明: (略)
§2 方阵的特征值与特征向量
定义6 (P117)

特征矩阵、特征多项式、特征方程