数码相机定位 - 同济大学数学系.doc

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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数码相机定位
摘要
我们研究了如何精确地确定两部相机的相对位置这一问题。我们所使用的方法是确定某固定物体与其在各相机中像的位置对应关系,从而过渡到两相机间位置的对应关系。
我们将分别针对像平面和物平面建立两套坐标系,然后在物平面上取一系列特征点。当我们按下照相机的快门时,就可以将那些特征点映到像平面上。我们利用多个特征点来确定上述映射的模型。也就是说通过了解映射在某些点上的取值来确定这一映射。
由于照相机将直线映射为直线,因此,我们可以通过对线与线间的对应关系的研究,更精确地获得点与点间的对应。本文通过了解映射在圆的切线上的取值来确定这一映射,从而最后给出映射在圆心的取值。
为了验证我们的模型,我们取像平面上的四个圆,做出他们的切线,从而得到一个大的外切四边形和一个小的内切四边形。他们的对角线应该交于同一点P。我们分别通过这两个四边形确定两个映射,这两个映射分别把P映到像平面的两个点,我们通过这两个点的距离可确定我们的模型的准确性。最后,我们利用分块矩阵的方法研究了算法的稳定性。
此模型有如下特点:第一,简单灵活。我们只需要对任意一个四边形研究,就可以确定物像间的对应关系。第二,精确稳定。我们只需要将四边形取得充分大,就可使精度满足任意要求。第三,容易推广。
关键字
双相机定标切四边形仿射变换
引言
数码相机定位,即是指通过数码相机摄制物体的相片来确定为体表面的某些特征点的位置。其不仅在交通监管中起着重要的作用,更是在人工智能方面,特别是在机器人视觉上有着巨大的开发空间。与传统相机相比,数码相机通过电荷耦合器(Charge Coupled Device,D)将光学影像转化为数字信号。这样,不仅使得数码相机在容量上占有巨大的优势,而且它的即时相片浏览功能也是传统相机所望尘莫及的。尽管如此,数码相机在照片的清晰度上还是远不及传统相机,其像素也只达到普通相机的至左右。对于数码相机而言,最值得我们关注的一点是数码相机的数字化功能,这使得机器人双目视觉系统得到了空前的发展。
双目视觉系统,顾名思义,就是一种可以通过数字机械化手段模仿人类视觉的一种系统,它是由单目视觉系统衍生而来。在本篇论文中,笔者将基于空间变换的DLT模型以及结构光的测量方法,根据线性映射将线性函数映成线性函数这一原理,从DLT(Direct Linear Transformation)算法的研究,我们发现此算法在计算时较为复杂和烦琐,于是,我们在基于DLT算法的原理上拓展出了一个相对较为简易的数学模型及算法来研究单目视觉系统中物体空间位置的确定,即单相机定位这一问题,进而构造出双相机定位以及两相机相对位置确定的数学模型。其中,我们通过简单的实际测量及计算,检验了我们自主创造的算法的实际误差,并且进行了误差的改良与修正,从而建立起了基于单相机定位原理的双相机的标定方法。
模型假设
方便起见,我们引入以下各坐标系。
我们取光点中心为坐标原点建立坐标系-xyz,其中xoy平面平行像平面。像平面上有两套坐标-uv,-ts,其中是光轴与像平面的交点,具体见图1、图2。
模型建立
令-uv的单位为像素,-ts的单位为mm。T为每毫米对应的单位像素数,而-xyz的单位也为mm。若令在-uv中的坐标为,则
——(1)
而由图3知,若设靶标上固定M一点坐标为(x,y,z),其在对应的平面坐标为(t,s),令光点到像平面距离为G,由相似三角形的对应边成比例这一性质
得
——(2)
设M点固有的坐标系为-PQR,这里,M点在-PQR中坐标为(p,q,r),则-PQR经旋转平移变换可变为-xyz,设其对应矩阵分别为R、T,
有
= (R为行列式为1的正交阵) ——(3)
写成矩阵形式,
得
z= ——(4)
即
z= ——(5)
这里
R=(,,)
知
z=
于是
u=
v=
在上面,我们简单地介绍了DLT模型。我们可以看出DLT模型是研究点与点之间的对应关系,显然,这样很难保证模型的稳定性。
我们则研究线与线之间的对应关系,其主要理论依据是:仿射变换将直线映射为直线。为了直观地说明这个问题,我们作出了以下图形,

我们设上述仿射变换为,因此将映到(、均为切线)。若我们能通过A、B、C、D确定仿射变换,则0'=(0),问题就解决了。显然,A、B、C、D四点只能确定八个方程,而由前面分析知未知数有十二个(事实上,通过化