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复数的四则运算
江门市杜阮华侨中学杨清孟
知识回顾
1、复数的概念:形如______________的数叫做复数,a,b分别叫做它的_____________。为纯虚数
实数非纯虚数
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是_____________。
a1=a2,b1=b2
a+bi (a,b∈R)
实部和虚部
3. 复数的几何意义是什么?
复数与平面向量=(a,b)
或点(a,b)一一对应
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则?
a=0,b≠0
b=0
a ≠ 0,b≠0
设Z1=a+bi,Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的和:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:(1)复数的加法运算法则是一种规定。当b=0,d=0时与实数加法法则保持一致
(2)很明显,两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
1、复数的加法法则:
练习:计算
(1)(2+3i)+(-3+7i)=
(2)-4+(-2+6i)+(-1-)=
(3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di,若Z1+Z2是纯虚数,则有( )
-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0
C. a+c=0且b-d≠0 +c=0且b+d≠0
证:设Z1=a1+b1i,Z2=a2+b2i,Z3=a3+b3i (a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R)
则Z1+Z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,Z2+Z1=(a2+a1)+(b2+b1)i
显然 Z1+Z2=Z2+Z1
同理可得(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
点评:实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。
运算律
探究?
复数的加法满足交换律,结合律吗?
Z1+Z2=Z2+Z1
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
复数的加法满足交换律、结合律,即对任意Z1∈C,Z2∈C,Z3∈C
y
x
O
设及分别与复数及复数对应,则,
∴向量就是与复数
对应的向量.
探究?复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗?
复数的加法可按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义
思考?
复数是否有减法?
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。
设Z1=a+bi,Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任
意两个复数,那么它们的差:
思考?
如何理解复数的减法?
复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足(c+di)+(x+yi)= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作(a+bi) - (c+di)
事实上,由复数相等的定义,有:
c+x=a, d+y=b
由此,得 x=a - c, y=b - d
所以 x+yi=(a - c)+(b - d)i
学以致用
讲解例题
例1 计算
解:
类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?
设及分别与复数及复数对应,则,
y
x
O
复数减法的几何意义: