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第四章线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和能可观性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后,能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
卡尔曼
“输入能否控制状态的变化”——可控性
“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
4-1 问题的提出
线性定常连续系统的可控性
一、线性定常连续系统状态可控性的定义
段连续的输入,能在有限时间间隔内,使得系统从某一初始状态转移到指定的任一终端状态,则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的,则称此系统是状态完全可控的,简称系统是可控的。
对于线性定常系统
,如果存在一个分
关于可控性定义的说明:
(1)上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态,那么相平面上的P点是可控状态。假如可控状态“充满”整个状态空间,即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入,使得在有限时间间隔内,将此状态转移到状态空间中的任一指定状态,则该系统称为状态完全可控。
P
P3
P1
P2
Pn
P4
0
x1
x2
可控状态的图形说明
(2)在可控性定义中,把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点,而终端状态也规定为状态空间中的任意点,这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处理,而又不失一般性,我们把上面的可控性定义分两种情况叙述:
①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点,而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原可控性定义可表述为:
对于给定的线性定常系统,如果存在一个分段连续的输入,能在有限时间间隔内,将系统由任意非零初始状态转移到零状态,则称此系统是状态完全可控的,简称系统是可控的。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点,即
,终端状态规定为任意非零有限点,则可达定义表述如下:
对于给定的线性定常系统,如果存在一个分段连续的输入,能在有限时间间隔内,将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态,则称此系统是状态完全可达的,简称系统是可达的(能达的)。
对于线性定常系统,可控性和可达性是等价的;
在以后对可控性的讨论中,均规定目标状态为状态空间中的原点,并且我们所关心的,只是是否存在某个分段连续的输入,能否把任意初始状态转移到零状态,并不要求算出具体的输入和状态轨线。
二、可控性的判别准则
对于n阶线性定常系统,其系统状态完全可控的充分必要条件是:由A、B构成的可控性判别矩阵
满秩,即
其中,n为该系统的维数。
:(可控性秩判据)
【】判别下列状态方程的可控性。
(1)
(4)
(3)
(2)
解:
(1)
(3)
(2)
(4)
,
,
,
,
∴系统不可控。
,
,
,
,
∴系统可控。
∴系统不可控。
∴系统不可控。
:
设线性定常系统,具有互不相同的实特征值,则其状态完全可控的充分必要条件是:系统经非奇异变换后的对角标准型
中, 阵不存在全零行。
非奇异线性变换的不变特性:
(1)线性变换后,可控性不变;
(2)线性变换后,可观性不变。