线性代数答案高等教育出版社.pdf

线性代数(同济四版) 习题参考答案
黄正华
Email: ******@whu.
武汉大学数学与统计学院, 湖北武汉 430072
Wuhan University
目录
第一章行列式 1
第二章矩阵及其运算 17
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 33
第四章向量组的线性相关性 48
第五章相似矩阵及二次型 70
i
ii 目录
第一章行列式
1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ 2 0 1 ¯ ¯ a b c ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
(1) ¯ 1 −4 −1 ¯; (2) ¯ b c a ¯;
¯ ¯ ¯ ¯
¯ −1 8 3 ¯ ¯ c a b ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ 1 1 1 ¯ ¯ x y x + y ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
(3) ¯ a b c ¯; (4) ¯ y x + y x ¯.
¯ ¯ ¯ ¯
¯ a2 b2 c2 ¯ ¯ x + y x y ¯
解: (1)
¯ ¯
¯ ¯
¯ 2 0 1 ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ 1 −4 −1 ¯
¯ ¯
¯ −1 8 3 ¯
=2 × (−4) × 3 + 0 × (−1) × (−1) + 1 × 1 × 8 − 0 × 1 × 3 − 2 × (−1) × 8 − 1 × (−4) × (−1)
= − 24 + 8 + 16 − 4
= − 4.
¯ ¯
(2) ¯ ¯
¯ a b c ¯
¯ ¯
¯ ¯ 3 3 3
¯ b c a ¯ = acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc = 3abc − a − b − c .
¯ ¯
¯ c a b ¯
¯ ¯
(3) ¯ ¯
¯ 1 1 1 ¯
¯ ¯
¯ ¯ 2 2 2 2 2 2
¯ a b c ¯ = bc + ca + ab − ac − ba − cb = (a − b)(b − c)(c − a).
¯ ¯
¯ a2 b2 c2 ¯
(4) ¯ ¯
¯ ¯
¯ x y x + y ¯
¯ ¯
¯ ¯ 3 3 3
¯ y x + y x ¯ = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y −(x + y) − x
¯ ¯
¯ x + y x y ¯
= 3xy(x + y) − y3 − 3x2y − 3y2x − x3 − y3 − x3
= −2(x3 + y3).
2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1) 1 2 3 4; (2) 4 1 3 2;
(3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3;
(5) 1 3 · · · (2n − 1) 2 4 · · · (2n);
(6) 1 3 · · · (2n − 1) (2n) (2n − 2) · · · 2.
解
(1) 逆序数为 0.
(2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2.
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
n(n−1)
(5) 逆序数为 2 :
1
2 第一章行列式
3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个
5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个
7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .