极限运算法则.ppt

第一章
二、极限的四则运算法则
三、复合函数的极限运算法则
一、无穷小运算法则
第五节
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极限运算法则
时, 有
一、无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小.
证: 考虑两个无穷小的和.
设
当
时, 有
当
时, 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量.
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说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小!
例如,
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小.
思考:两个无穷小的差是否为无穷小?
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证: 设
又设
即
当
时, 有
取
则当
时, 就有
故
即
是
时的无穷小.
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小.
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例1. 求
解:
利用定理 2 可知
说明: y = 0 是
的渐近线.
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二、极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由定理 1 可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理, 知定理结论成立.
定理 3 . 若
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推论: 若
且
则
( P46定理 5 )
利用保号性定理证明.
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.
提示: 令
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定理 4 . 若
则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.
推论 1 .
( C 为常数)
推论 2 .
( n 为正整数)
例2. 设 n 次多项式
试证
证:
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为无穷小
(详见P44)
定理 5 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理, 得
为无穷小,
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定理6 . 若
则有
提示: 因为数列是一种特殊的函数,
故此定理可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论.
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