极限运算法则.ppt

无穷小的性质
极限的四则运算法则
第五节 极限运算法则
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复合函数的极限运算法则
第一章
证明
设及是当xx0时的两个无穷小
则 0
10
当0|xx0|1 时 有|| / 2
20
当0|xx0|2 时 有|| / 2 
取 min{1 2}
则当0|xx0|时 有
这说明 也是当xx0时的无穷小
||||||   / 2 +  / 2   
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷小的性质
仅就两个xx0时的无穷小情形证明
举例:
当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是
当x0时的无穷小
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注意: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|1}
内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M
又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20
使当0|xx0|2时 有|| /M
取min{1 2} 则当0|xx0| 时 有
|u||u|||M /M=
这说明u 也是当xx0时的无穷小
证明
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷小的性质
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分析 当x时 分子及分母的极限都不存在 故后
面关于商的极限的运算法则不能应用
例
所以它是无穷小与有界函数的乘积.
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(特点:无穷小与有界函数的乘积=0).
所以根据无穷小量的性质知
即
是有界函数,
解 因为
注意它的变形:如
有界函数
无穷小
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷小的性质
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
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(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB
推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则
lim[cf(x)]=climf(x)
推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则
lim[f(x)]n=[limf(x)]n 
定理3
如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么
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极限的四则运算法则
(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB
数列极限的四则运算法则
定理5 如果j(x) y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab
不等式
定理4 设有数列{xn}和{yn} 如果
那么
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求极限举例
讨论
提示
例1
解
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例2
解
方法:用运算法则3.
解
例3
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提问
方法:因式分解或有理化(含有根式)
转化为
思考题: 求
解 原式
方法:有理化.
解
例4
根据无穷大与无穷小的关系得
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因为
提问
方法:先求其倒数的极限为0.