极限运算法则.pptx

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一、无穷小的性质
定理1有限个无穷小的和仍是无穷小。
证:
故
注意:无限个无穷小量的和不一定是无穷小。
如:
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定理2有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。
证明:g(x)有界,故存在M>0,使
对于
当
故当
设g(x)在某定义域内有界,
推论:
(1)常量与无穷小的积仍是无穷小;
(2)有限个无穷小量的积仍是无穷小。
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解:
利用定理2可知
说明:y=0是
如:
的一条水平渐近线
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二、极限的四则运算法则
则有
证:因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由定理1可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理,知定理结论成立.

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推论:若
且
则
(P45定理5)
利用保号性定理证明.
说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.
提示:令
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则有
提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.
说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.
推论1.
(C为常数)
推论2.
(n为正整数)

试证
证:
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为无穷小
(详见P44)

且B≠0,则有
证:因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理得
为无穷小,
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则有
提示:因为数列是一种特殊的函数,
故此定理可由
定理3,4,5直接得出结论.
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注2:对法则4,b不为0;法则1、2、3只
适用于有限个函数。
注1:在同一变化趋势下,极限都要
在,否则不能用上述法则。
则一定不存在;
注3:若,其中只有一个存在,
则不一定不存在;
注4:若,两个极限都不存在,
比如:
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三、求极限举例
例1
例2
解原式
解原式