关于血缘的数学.doc

你下次家庭团聚的数学
Jeffrey Rosenthal
关键词: 应用数学
一直跟踪家庭关系可能非常困难。假如埃德娜与你母亲的叔叔查理结婚,你应该喊她什么?如果你父亲表弟的女儿刚刚生了一个小男孩,你们两个人怎样被相互介绍?谁是你的"曾曾姑母"?怎样发现你的"移去两次的第一代表亲"?幸运的是,一点儿数学逻辑可以帮助澄清谁应被叫什么并且为何这样叫---甚至可以检测不同亲戚之间的基因相似度。
为什么曾祖母比祖母大?
祖先血统
从头开始(当然,从你的的上代讲起吧),你当然有两个双亲,一个是父亲,一个是母亲。继续朝上走,他们每人都有两个双亲,总共给了你四个祖双亲,即祖父母和外祖父母:
再向上追溯,你祖先中的每一个转过来也有两个双亲,这样每次在称呼前就要加上一个额外的"曾"字。例如,你的所有母系一方的血统是:
等等,母亲,外祖父,曾外祖父,曾曾外祖父,曾曾曾外祖父。
因为每个祖先有两个双亲(一个父亲一个母亲),向上第n代,你有2n个祖先:两个双亲,四个祖双亲,八个曾-祖双亲,十六个曾-曾-祖双亲,等。加起来,一直到上n代,你总共有2+22+23+⋯2n=2n+1−2个祖先;例如,你所有的双亲、祖双亲和曾-祖双亲的个数是23+1−2=14。简言之,你的祖先形成一个完全二向图,感觉足够简单。
后代遗产
如果你有孩子,则他们的孩子是你的孙辈,且你孙辈的孩子是你的曾-孙辈,等等:
与祖先情形不一样,你的后代个数缺乏简单的公式。你能做的只是数一下你的子女个数,他们所有子女的个数,等等。例如,即使你有五个孩子,有可能他们当中没人有子女,此时你的孙辈个数为零。另一方面,如果他们每人也生了五个孩子,则你将有二十五个孙辈,这里就没有什么公式可以遵循了。
旁系
当某人有多个孩子后,家族之树开始膨胀,产生像姐妹、外甥女、姑婆婆等更多的这样的新关系。作为开始,如果你的父母除你外还有其他子女,他们当然是你的同胞,即你的姐妹和兄弟。如果你和你的同胞都有孩子,则这些孩子彼此是堂表兄弟姐妹。然后,如果他们中的两个又有孩子,则这些孩子互相是第二代堂表兄弟姐妹;他们的孩子就是第三代堂表兄弟姐妹,等等。
一般来说,向上第n代堂表兄弟姐妹共享两个第(n+2)代的祖先(但不共享第(n+1)代祖先)。因此,堂表兄弟姐妹共享两个祖双亲(但不共享双亲)。第二代堂表兄弟姐妹共享两个曾-祖双亲(但不共享祖双亲),等等。
由此可见,如果A和B是第n代堂表兄弟姐妹,则A的孩子与B的孩子是第(n+1)代堂表兄弟姐妹。这样,堂表兄弟姐妹的孩子是第二代堂表兄弟姐妹,第二代堂表兄弟姐妹的孩子是第三代堂表兄弟姐妹,等等。事实上,如果我们把同胞视为第零代堂表兄弟姐妹,则这个理由也用于同胞:第零代堂表兄弟姐妹(即同胞)的孩子是第一代堂表兄弟姐妹。
最后,你同胞的女孩是你的侄(或外甥)女,他们的孩子则是你的侄孙女(或侄孙),等等:
显而易见对每一代的"侄儿"的情形和"侄女"是类似的。
认输
现在你知道了你的下代堂表兄弟姐妹来自何处。要知道你的堂表兄弟姐妹来自哪里,我们必须上移到你的双亲一代。你双亲的同胞是你的叔伯、姑母或姨妈。他们的子女是你的堂表兄弟姐妹(因为你和他们共享祖双亲,但不共享双亲):
如果你的堂表兄弟姐妹有孩子,对你而言他们是谁?嗯,叫法颇为奇怪:你的堂表兄弟姐妹的孩子被叫成是你的"移去一次的堂表兄弟姐妹",且他们的孩子是你的"移去两次的堂表兄弟姐妹"。
要知道你的第二代堂表兄弟姐妹来自哪里,我们必须上移两代。你的祖双亲的同胞是你的姑奶奶姑婆婆或叔(舅)祖。所以他们的孩子(及你双亲的堂表兄弟姐妹)是你的移去一次的堂表兄弟姐妹,而他们的孩子是你的第二代堂表兄弟姐妹。
同样的模式可以向上移到任一代。再一次,你的第n代堂表兄弟姐妹和你共享第(n+2)代祖先,但不共享第(n+1)代祖先。你的第n代祖先的同胞是你的曾⋯曾姑母或曾⋯曾叔伯,其中"曾"字重复n−1次。更进一步,你的第m代祖先的第n代堂表兄弟姐妹,以及你的第n代堂表兄弟姐妹的第m代后代,是你的第n代移去m次的堂表兄弟姐妹。
例如,当n=3及m=2时,你的祖双亲的第三代堂表兄弟姐妹是你的移去两次的第三代堂表兄弟姐妹,你的第三代堂表兄弟姐妹的孙辈也是你的移去两次的第三代堂表兄弟姐妹。向后追溯到n=3,给出:
在此图中,你的第三代堂表兄弟姐妹(n=3)共享你的曾-曾-祖双亲中的两位(第n+1=4代祖先)。你的曾-姑奶奶是你的曾-祖母的同胞姐妹(n=3)。你的移去一次的第二代堂表兄弟姐妹由于是你母亲的第二代堂表兄弟姐妹而得到那个称呼,而你的移去一次的第三代表妹获得此名称,因为她是你的第三代堂表兄弟姐妹的女儿。够繁琐的吧!
血浓于水
我们关心家庭之树的理由之一是因为某些家庭关系对我们来说有种"更相关"