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河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期末考试试题
一、单选题
1. 已知函数,下列说法中错误的是( )
A. 的最大值为2
B. 在内所有零点之和为0
C. 的任何一个极大值都大于1
D. 在内所有极值点之和小于55
【答案】D
【解析】项,,又的最大值为, 故项正确; 项,,即是个偶函数,零点关于轴对称成对出现,在的零点之和为,故项正确; 项,因为是偶函数,的极值点关于轴对称,并且有唯一最大值点时,也是极大值点,此时极值只要考虑时的情况即可,当时,,,记的解从小到大排列为,且,当时,,当时,的极大值点为,极大值为,,,令,则,设,令,得,当时,单调増,当时,单调减,也就是说的极大值都大于,故项正确,故选D.
2. 已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切,点是球上一点,点是的外接圆上的一点,则线段的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为球与正方体的每条棱都相切,故其直径为面对角线长,所以半径为,如图,球心为正方体的中心,球心与的外接圆上的点的距离为,其长为体对角线的一半,故,故
,也就是,选C.
点睛:这是组合体问题,关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.
3. 已知函数,当时, 恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记函数在上的最小值为:的定义域为.
.
令,得或.
①时,对任意的,,在上单调递增,的最小值为
②当时,
的最小值为;
③当时,对任意的,在上单调递减,的最小值为.
由①②③可知
易知在上单调递减,且,
故实数的取值范围为.
故选C.
点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(3)若恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) .
4. 老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃,梅花,方片以及黑桃,让明、小红、小张、小李四个人进行猜测:
小明说:第1个盒子里面放的是梅花,第3个盒子里面放的是方片;
小红说:第2个盒子里面饭的是梅花,第3个盒子里放的是黑桃;
小张说:第4个盒子里面放的是黑桃,第2个盒子里面放的是方片;
小李说:第4个盒子里面放的是红桃,第3个盒子里面放的是方片;
老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是( )
A. 红桃或黑桃 B. 红桃或梅花
C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花
【答案】A
【解析】因为四个人都只猜对了一半,故有一下两种可能:
(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的时红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;
(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第一个盒子只能是红桃A,
故选A.
5. 已知函数,若在区间上存在,使得,则的取值不可能为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
作出函数的图象如图所示,故问题转化为的图象的交点个数问题,观察可知,的取值为1,2,3,故选D.
6. 若对圆上任意一点, 的取值与无关,则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】设z=|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|=5(),
故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m:3x﹣4y+a=0与直线l:3x﹣4y﹣9=0距离之和的5倍,
∵取值与x,y无关,∴这个距离之和与P无关,
如图所示:可知直线m平移时,P点与直线m,l的距离之和均为m,l的距离,即此时与x,y的值无关,
当直线m与圆相切时,=1,
化简得|a﹣1|=5,
解得a=6或a=﹣4(舍去),
∴a≥6
故选:D.
点睛:本题类比点到直线距离公式,其几何意义为动点到直线m:3x﹣4y+a=0与直线l:3x﹣4y﹣9=0距离之和的5倍,从而把问题转化为直线与圆的位置关系问题.
7. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为,左、右焦点分别是,在线段上有且只有一个点
满足,则椭圆的离心率的平方为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作图如下:
,
直线的方程为:椭圆整理得:
设直线上的点
则
,
令
则
由得,
整理得:,又,
,又椭圆的离心率
故椭圆的离心率的平方为
故选
8. 已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,而