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必修四导学案15 第一章章末复习
【知识网络】
【方法总结运用】
一、分类讨论思想
分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时,我们就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类进行研究,得出每一类的结论,最后综合各类的结论得到整个问题的结论.
例1 已知cos θ=m,|m|≤1,求sin θ、tan θ的值.
【思考题1】已知角θ的终边经过点P(-,m) (m≠0)且sin θ=m,试判断角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值.
二、转化与化归思想[来源:学科网ZXXK]
,,三角变换处处体现转化与化归思想,如:化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次,切化弦等均是转化与化归思想的应用.
例2 已知函数f(x)=-sin2x-asin x+b+1的最大值为0,最小值为-4,若实数a>0,求a、b的值.
【思考题2】已知|x|≤,求函数f(x)=cos2x+sin x的最小值.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
三、数形结合思想[来源:学科网ZXXK]
在解决数学问题时,将抽象的数学语言与直观的图形结合,使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,即把数量关系转化为图形的性质来确定或把图形的性质转化为数量关系问题来研究.
例3 (选讲)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的简图如图所示,求函数g(x)=f(x)-lg x零点的个数.
【思考题3】已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.
【课堂小结】
,要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练运用数形结合的思想方法.
,还应注意分类讨论及转化与化归的数学思想方法的应用.
(复习题见活页)
【第一章章末复习】参考答案
【例1】:解(1)当m=0时,θ=2kπ±,k∈Z;
当θ=2kπ+时,sin θ=1,tan θ不存在;
当θ=2kπ-时,sin θ=-1,tan θ不存在.
(2)当m=1时,θ=2kπ,k∈Z,sin θ=tan θ=0.
当m=-1时,θ=2kπ+π,k∈Z,sin θ=tan θ=0.
(3)当θ在第一、二象限时,
sin θ=,tan θ=.
(4)当θ在第三、四象限时,
sin θ=-,tan θ=-.
反思与感悟已知角的某一个三角函数值为字母时,注意对字母是否为0、±1及分象限作讨论,,有不少题目都涉及到分类讨论的思想.
【思考题1】:解由题意,得r=,
所以sin θ==m.
因为m≠0,所以m=±,故角θ是第二或第三象限角.
当m=时,r=2,点P的坐标为(-,),角θ是第二象限角,
所以cos θ===-,
tan θ===-;
当m=-时,r=2,点P的坐标为(-,-),角θ是第三象限角,所以cos θ===-,
tan θ===.
【例2】:解令t=sin x,则
g(t)=-t2-at+b+1=-2++b+1,
且t∈[-1,1].下面根据对称轴t0=-与区间[-1,1]的位置关系进行分类讨论.
①当-≤-1,即a≥2时,
解得
②当-1<-<0,即0<a<2时,
解得(舍)
或(舍)
都不满足a的范围,舍去.
综上所述,a=2,b=-2.
.
【思考题2】:解 y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1.
令t=sin x,∵|x|≤,∴-≤sin x≤.
则y=-t2+t+1=-(t-)2+(-≤t≤),
∴当t=-时,即x=-时,f(x)有最小值,且最小值为-(--)2+=.[来源:Z。xx。]
【例3】解显然A=2.
由图象过(0,1)点,则f(0)=1,即sin φ=,
又|φ|<,则φ=.
又是图象上的点,则f=0,
即sin=0,由图象可知,是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点.∴ω+=2π.
∴ω=2,因此所求函数的解析式为f(x)=2sin(2x+).
在同一坐标系中作函数y=2sin和函数y=lg x的示意图如图所示:
∵f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,