第七章 线性系统的校正方法.pdf

自动控制原理电子教案
第 9 章最优控制
最优控制的概念
设系统的状态方程为
x&= f (x, u, t) ()
性能指标的数学表达式一般可以表示为
t
f ()
J = θ[x(t f ), t f ]+ ∫ L[x(t),u(t),t]dt
t0
所谓最优控制,就是要确定在[t0 ,t f ] 中的最优控制 u ,将系统()的状
态从 x(t0 ) 转移到 x(t f ) ,或者 x(t f ) 的一个集合,并使性能指标()最优。
变分法与泛函的极值条件

如果对于自变量 t ,存在一类函数{x(t)} ,对于每个函数 x(t) ,有一个 J 值
与之对应,则变量 J 称为依赖于函数 x(t) 的泛函数,简称为泛函,记作 J[x(t)] 。
如果泛函 J[x] 满足下列关系:
J[ax] = aJ[x]
()
J[x + y] = J[x]+ J[y]
式中, a 是实数; x, y 是函数空间中的函数,则泛函 J 是线性泛函。

泛函 J[x(t)] 的变量 x(t) 的变分δx ,定义为δx = x(t) − x* (t) ,其中,x* (t) 为
一标称函数(即最优控制中的最优轨线), x(t) 为 x* (t) 邻域内与 x* (t) 属于同
一函数类的某一函数。
如果泛函 J[x(t)] 的增量
∆J[x(t),δx] = J[x(t) + δx]− J[x(t)] ()
可以表示为如下形式
∆J[x(t),δx] = L[x(t),δx]+ β[x(t),δx] δx ()
其中,L[x(t),δx] 是δx 的线性泛函,且当δx → 0 时,β[x(t),δx] → 0 ,则线性泛
函 L[x(t),δx] 称为泛函 J[x(t)] 的变分(一阶变分),记作δJ 。
由变分的定义可以看出,泛函的变分是一种线性映射,所以,它的运算规
则类似于函数的线性运算。设 F1 和 F2 是 x , x&和 t 的函数,则有如下的变分规
则:
(1)δ(F1 + F2 ) = δF1 + δF2
(2)δ(F1F2 ) = F1δF2 + F2δF1
(3)δ∫ F(x, x&, t)dt = ∫δF(x, x&,t)dt
d
(4)δx&= δx
dt

若泛函 J[x(t)] 在 x = x*(t) 附近的任一曲线上的值不小于 J[x*(t)] ,即
∆J = J[x(t)]− J[x*(t)] ≥ 0 ,则泛函 J[x(t)] 在曲线 x = x*(t) 上达到极小值。
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泛函 J[x(t)] 在曲线 x = x*(t) 上达到极小值的必要条件为(证明略)
d
δJ (x*, ∆x) = J (x*+ε∆x) = 0 ()
dεε=0
在等式约束下的泛函极值问题,称为条件泛函极值问题。对于条件泛函极
值问题,可以应用拉格朗日乘子法将其转化为无约束条件极值问题。

变分法求解无约束最优控制问题
设系统的状态方程为
x&(t) = f [x(t), u(t),t] x(t0 ) = x0 ()
性能指标为
t
f ()
J = θ[x(t f ), t f ]+ ∫ L[x(t),u(t),t]dt
t0
最优控制问题就是以状态方程()为约束,确定使泛函()达到极
值所要满足的必要条件。在上面的最优控制问题中,因为对控制变量 u(t) 没有
约束,所以通常称为无约束最优控制问题。
无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题,可以采用拉
格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。
构造增广泛函为
t
f T & ()
J a = θ[x(t f ),t f ]+ ∫{L[x(t),u(t),t]+ λ[ f (x(t),u(t),t) − x(t)]}dt
t0
构造哈密顿函数为
H (x, u, λ, t) = L(x, u, t) + λT f (x,u,t) ()
式中, λ∈ R n 为拉格朗日乘子向量。则增广泛函为
t
J = θ[x(t ),t ] + f {H[x,u,λ,t] −λT x&}dt ()
a f f ∫t0
设初始时刻 t0 及其状态给定为 x(t0 ) = x0 。根据终端