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函数对称性周期性
同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
对称性定义(略),请用图形来理解。
对称性: 偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式
奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式
探讨:(1)函数关于对称
也可以写成或
若写成:,函数关于直线对称
(2)函数关于点对称
或
周期性:
(1)函数满足如下关系系,则
A、 B、
两个函数的图象对称性
与关于X轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于Y轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
函数的轴对称:
定理1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论2:如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴)对称.
函数的点对称:
定理2:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论3:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论4:如果函数满足,,.
三、试题
,,且,则的值(A ).
.
2:在R上定义的函数是偶函数,,则( B )
,在区间上是减函数
,在区间上是减函数
,在区间上是增函数
,在区间上是增函数
分析:由可知图象关于对称,,可得到为周期函数且最小正周期为2,结合在区间上是减函数,

6:已知,,,…,,则( A ).
A. B. C.
分析:由,知,,.
为迭代周期函数,故,,.
选A.
7:函数在R上有定义,且满足是偶函数,且,是奇函数,则的值为.
,则( c )
C.
9. 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是( B )
(A); (B);
(C); (D)
二、复合函数的奇偶性。
性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。
复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。
性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。
性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。
三、函数的周期性。
性质、若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点,有下
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