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第2章连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。所谓数学模型就是
根据系统运动过程的物理、化学等规律,所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入
关系的数学表达式。
数学模型的类型
数学模型是对系统运动规律的定量描述,表现为各种形式的数学表达式,从而具有不同
的类型。下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型
根据数学模型的功能不同,数学模型具有不同的类型。描述系统静态(工作状态不变或
慢变过程)特性的模型,称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的,数学
表达式中的变量不依赖于时间,是输入输出之间的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模
型,称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间,一般是微分方程等形式。静态
数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型
描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型,如微分方程、传递函
数、频率特性等数学模型。而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关
系,所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系,而且描述
了系统内部信息传递关系,所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型
根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号,数学模型分为连续时间模型和
离散时间模型,简称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间
表达式等。离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
4. 参数模型与非参数模型
从描述方式上看,数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达
式表示的数学模型,如传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理
系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型,如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线
等。
数学模型虽然有不同的表示形式,但它们之间可以互相转换,可以由一种形式的模型转
换为另一种形式的模型。例如,一个集中参数的系统,可以用参数模型表示,也可以用非参
数模型表示;可以用输入输出模型表示,也可以用状态空间模型表示;可以用连续时间模型
表示,也可以用离散时间模型表示。
建立数学模型的方法
建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法。一类是机理分析建模方法,
称为分析法,另一类是实验建模方法,通常称为系统辨识。
机理分析建模方法是通过对系统内在机理的分析,运用各种物理、化学等定律,推导
出描述系统的数学关系式,通常称为机理模型。采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结
构,所以,常称为“白箱”建模方法。机理建模得到的模型展示了系统的内在结构与联系,
较好地描述了系统特性。但是,机理建模方法具有局限性,特别是当系统内部过程变化机理
还不很清楚时,很难采用机理建模方法。而且,当系统结构比较复杂时,所得到的机理模型
往往比较复杂,难以满足实时控制的要求。另一方面,机理建模总是基于许多简化和假设之
上的,所以,机理模型与实际系统之间存在建模误差。
系统辨识是利用系统输入、输出的实验数据或者正常运行数据,构造数学模型的实验
建模方法。因为系统建模方法只依赖于系统的输入输出关系,即使对系统内部机理不了解,
也可以建立模型,所以常称为“黑箱”建模方法。由于系统辨识是基于建模对象的实验数据
或者正常运行数据,所以,建模对象必须已经存在,并能够进行实验。而且,辨识得到的模
型只反映系统输入输出的特性,不能反映系统的内在信息,难以描述系统的本质。
最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来。事实上,人们在
建模时,对系统不是一点都不了解,只是不能准确地描述系统的定量关系,但了解系统的一
些特性,例如系统的类型、阶次等,因此,系统象一只“灰箱”。实用的建模方法是尽量利
用人们对物理系统的认识,由机理分析提出模型结构,然后用观测数据估计出模型参数,
这种方法常称为“灰箱”建模方法,实践证明这种建模方法是非常有效的。
本章介绍机理建模方法,着重介绍几种常用的数学模型。系统辨识建模方法将在第10
章介绍。
状态空间模型
状态空间模型是控制系统的内部模型,描述了系统内部状态、系统输出与系统输入之间
的关系,深入地揭示了系统的动态特性,是现代控制理论分析、设计系统的基础。
状态与状态空间的概念
为了说明状态的概念,首先考察一个熟悉的例子。
如图 所示弹簧-阻尼器系统,根据物理学定律可知, K
在外