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关于函数连续性、可导性及可微性的探讨
摘要: 函数是微积分学的主要研究对象. 函数连续性、可导性及可微性是函数的重要性质. 它们之间密不可分. 本文对一元及二元函数的这些性质逐一进行了探讨, 并把其推广至m元函数.
关键词: 连续可导可微
一、一元函数的连续性、可导性及可微性

下面我们给出这些关系的证明及反例.
(1)定理1 函数在点可微的充要条件是函数在点可导.
证明必要性若在点可微,可知
即
取极限后有=A
这就证明了在点可导且导数等于A.
充分性若在点可导,则在点的有限增量公式
表明函数增量可表示为的线性部分为与较高阶的无穷小量之和,所以在点可微. (2)定理2 若函数在点可导,则在点连续.
证明若函数在点可导,则有
即
(其中函数)
所以则在点连续.
(3) 函数连续,不一定可导.
例如函数在点处连续,但不可导.
证明故在处连续,但
当时极限不存在,所以.
,,而一些非初等函数在这些方面有时会表现出一些特殊性质,看下面的特例.
(1)函数处处有定义,但处处不连续.
如狄利克雷(Dirichlet)函数
由有理数与无理数的稠密性可知这个函数在整个实数范围内的任何一点都是不连续的.
(2)仅在函数一点连续,任何点都不可导.
例如
证明由于,则任意的,存在,当时,,即函数在点处连续.
但同样根据有理数与无理数的稠密性可知, 在其它任何一点都不连续.

,
.
即这个函数仅在处连续,在任何一点都不可导.
(3)函数仅在一点连续,且仅在一点可导.
例如
与(2)中例子相似,可以证明仅在处连续.
同时由于, =()
由(2)的证明=0.
(4) 存在处处连续处处不可导的函数.
这个问题在历史上经过了很长时间的讨论,甚至出现过不存在这样的函数的所谓“证明”,但最终以一个例子的出现而结束.
=,函数在R上连续且,且b为奇数时函数处处不可导.
(5) 函数处处可导但导函数不连续.
例如=
当时,由第二项可以看出不存在.
当时=
可见这个函数在任何点都可导,但在处导数不连续.
二、二元函数的连续性、可导性及可微性
、偏导存在、可微、.


(1)定理3 若函数的偏导数在点的某邻域内存在,且,
在点处连续,则函数f在点处可微.
证明我们把全增量写作
=
=[]+[]
在第一个括号里,它是函数关于x的偏增量;在第二个括号内,,得
=+ (1)
由于与在点处连续,因此有
= (2)
= (3)
其中时,,将(2)(3)代入(1),则得
=+++
可知函数f 在点处可微.
(2)定理4 若二元函数在点处可微,则f在该点处关于每个自变量的偏导数都存在.
证明二元函数在