数学建模 雨中行走问题.doc

数
学
模
型
论
文
学校:
班级:
姓名:
学号:
雨中行走问题
摘要当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度,似乎跑得越快淋雨量就会越小。但事实上会是这种情况吗?在这里,我们将给予综合性的考虑,来解释不同情况下的淋雨量。
在不考虑风向的情况下,若人的全身都受到雨淋,理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。
当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时,并且考虑风向的影响,雨线方向和竖直方向成角。因为迎着雨的方向跑,所以全身都会淋到雨,由于有夹角,可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。
当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时,并且考虑风向的影响,雨线方向和竖直方向成角。因为背着雨的方向跑,所以全身不一定都会淋到雨。可分几种情况分别来说。
关键词人速;雨速;风向;夹角

当人们在雨中行走时,是不是走的越快就会淋越少的雨呢?对于这个问题,建立合理的数学模型。讨论一下,在不考虑风向时,人的淋雨量为多少;进而进一步讨论一下,在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。

当人在雨中行走时,是否跑的越快所淋的雨量就越少那,答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关,因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。


(1)把人体视为长方体,身高米,身宽米,身厚米,淋雨总量升。
(2)把降雨强度视为常量,记为:()。
(3)风速保持不变。
(4)以定速度跑完全程。

人体的身高(m)
w 人体的宽度(m)
d 人体的厚度(m)
D 人跑步的全程(m)
v 人跑步的速度(m/s)
i 降雨强度(cm/h)
c 人在跑步中的淋雨总量(L)
s 人在雨中会被雨淋的面积(㎡)
t 人在雨中跑步的时间(s)
v 雨滴下落速度(m/s)
雨滴反方向与人速度方向的夹角
雨滴密度

(1)不考虑雨的方向,此种情况,人的前后左右都会淋雨。
淋雨面积:()
行走世间:
降雨强度:
淋雨量:
结论:在此种情况下,跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数,只有跑步速度是变量。可知,淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。
但我们也可以发现,当我们取参数,,,,,时,可求得:,。也就是说在不到三分钟时间内淋雨量就很大了,不太符合实际情况。
结论:用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际,原因是模型太简单,没有考虑降雨方向,使得模型太粗超。
(2)考虑降雨方向,可知, 此种情况,淋雨的部位只有头顶和前面。
头顶的淋雨量:
前面淋雨量:
淋雨总量:
取参数
计算上式得:
可以看出:淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。
1 时

结论:淋雨量是速度的减函数,当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为。则计算可得:
2 时

结论:淋雨量是速度的减函数,当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为。则计算可得:
3 时
雨滴将从身后落下。
令,则。计算得:

此种情况中,淋雨量有可能为负值,这是不可能的,