翀 竞赛论文发表.doc

基于光的波粒二象性猜想的数学仿真
余翀1,李平好2,朱莲3,金栩4
(,上海 200433)
(,上海 200240)
(,江苏南京 210096)
(,江苏南京 210046)
摘要:本文从现有的经典物理光学理论和专业实验结果出发,运用数学思维,综合光子理论,建立了基于光的波粒二象性猜想的四种数学模型。针对光微子碰撞猜想,建立了基于光子碰撞后概率分布的模型。针对光子作为电磁场自我旋转的猜想,分别从专业证明和数学模型分析方面建立了电磁场偏转模型和光子旋转模型。最后建立了我们自己的猜想模型——光子蜂窝网络模型。该模型引入了“光子域”、“光子电力”、“光子磁力”、“光子键”等概念,从五个子模型出发,定性解释了四个光学现象,合理回答了题目提出的三大问题,并定量证明了衍射光强分布。
关键词:光的波粒二象性;基于光子碰撞后概率分布模型;电磁场偏转模型;光子旋转模型;光子蜂窝网络模型
1 引言
问题背景详见2011年全国研究生数学建模竞赛A题。本文紧密围绕题干提出的三个问题和两大关系,成功建立了基于光的波粒二象性猜想的四种数学模型:基于光子碰撞后概率分布模型、电磁场偏转模型、光子旋转模型和光子蜂窝网络模型,并定性、定量分析各种猜想以及数学模型的优缺性和适应性。
2 模型一的分析、建立与求解
模型假设
,光子结构尺寸为归一化的“1”,即当说明衍射缝的宽度为s时,意味着衍射缝的宽度相当于s个光子结构的大小;
,光子中的正光微子和负光微子与狭缝边沿发生弹性碰撞或非弹性碰撞或被边缘吸引的概率为1;
,认为光子的速度恒为c,这表明即使光子与狭缝边沿发生了碰撞,其能量依然不会改变,发生改变的仅是它的运动方向,间接影响其所能到达的区域而已。
符号说明
N:衍射缝(孔)的个数。 M:一个确定的光束中光子的个数(在视觉可视度范围内,光子数目应足够大)。 Q: M中与狭缝边沿发生碰撞的光子个数。ΔQ:未发生碰撞的光子个数。 Rp:观测屏上角度变化值为p的地方所接收到的光粒子数目。 s:衍射缝的宽度。 d:衍射缝的间距。 p:p≡sinθ-sinθ0。θ0:入射光束与衍射光栅面的法线的夹角。θ:衍射光线与衍射光栅面的法线的夹角。 k:k=ωc。ω:光的圆频率。 c:真空光速。 1s:衍射或干涉时观测屏中心的光强值。 I0:狭缝足够宽,近乎没有碰撞的条件下直接照射的光强。
模型分析
当单缝足够大时,可以想象光将无障碍自由地通过“狭”缝,即M中与狭缝边沿发生碰撞的光子个数Q为0,此时衍射光线与衍射光栅面的法线所成的夹角θ最小,且光强最大。由此不难想象,随着狭缝宽度s的减小,Q将相应地增多,而在碰撞个数增加的同时,碰撞的程度也不尽相同,可以认为,某个光子碰撞的程度决定了其碰撞后的方向,也就决定了夹角θ(或角度变化值p)的取值,进而决定了它到达观测屏上的位置,而观测屏上某个位置最后接收到的光子个数的多少决定了该位置光强的大小。由此可见,按照这个思路所建立的模型既能解释为什么光经过细缝后前进方向会发生改变,也能解释为什么光必须通过很窄的细缝才会使前进方向发生改变。考虑了模型的合理性,下面开始建立基于光子碰撞后概率分布的模型。在经典物理光学中,干涉和衍射时产生的光强大小都是通过波的合成幅度来求的,其具体数值涉及到光的波动性,而本文是要用光的粒子性来解释波动特征,所以无需计算光强的具体数值,仅考虑相对光强值I/I0。
模型建立
根据上面的分析,我们所建立的模型应该需要考虑两个部分:;,即Q个碰撞粒子的角度变化值的概率分布如何。
先看第1部分,已知发生碰撞的粒子数目随着狭缝宽度的缩小而增加,仔细分析又知,狭缝越窄,碰撞增加的机率越大,因此Q与狭缝宽度的倒数1/s并不是呈简单的正比例关系。再考虑相位差p对碰撞关系的影响(不同位置处所涉及的碰撞粒子数是不同的,实际上,p与s有着紧密联合性,例如,狭缝宽度为s1时在p1处光强为A,则当狭缝宽度减小为s2时,衍射范围增大,衍射条纹变宽,设此时光强为A的地方其相位差为p2,必有p2>p1)我们建立碰撞粒子数Q与狭缝宽度s的合理关系式为:QM=sinεspεsp,其中, ε表示碰撞粒子数Q与狭缝宽度s之间关系的调节系数,我们之后会对其进行讨论。
再看第2部分,根据常识可以想象,大多数碰撞后的光粒子都只会微小偏离原运动方向,只有少数光粒子才会偏离较大朝着较远的地方飞去,而且飞