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拉、压静不定问题的三种方法对比
--- 姚琪运载船舶与海洋工程 0905班 200971006
工程实际中为了提高结构的强度和刚度,除了选择合理的截面形状、加大截面尺寸外,常常在静定结构中再附加某些约束,这样就构成了静不定结构或超静定结构。
摘要:建立拉压静不定问题的变形协调条件是材料力学和工程力学教学的一个难点,本文对现行教材及教学中存在的问题,提出了建议的教学方法供探讨。
关键词:拉压杆静不定问题,变形协调条件,几何分析,小变形力学性质。
1 拉压静不定杆的三种分析方法
求解拉、压杆静不定问题,除了根据静力平衡条件列出平衡方程外,还必须寻求其变形协调条件,进而依据力和变形之间的物理条件建立补充方程,这是分析静不定问题的基本方法.
如图 1所示,1,2 ,3三杆在 A点铰接,这是典型的一次静不定问题。设 1 , 2两杆的抗拉刚度相同,由于桁架左、右对称,加力 P后节点 A垂直移动到 A1 。图中的虚线表示杆件变形后的位置。
方法一: 如图l ( a )所示,位移 AA1 ,由A点作A、B的垂线得到1杆的伸长Δl1,且近似认为∠AA1B =α。于是Δl1=Δl3cosα。这便得到了1 , 2 ,3三个杆件的几何变形协调方程。
方法二: 如图 l ( b )所示,设杆3的伸长仍为Δl3。在小变形的条件下,由 A1点作 AB 的垂线得到 1杆的伸长Δl1。于是很直观地得到Δl1=Δl3cosα。
方法三: 如图4所示,将杆3切开,在切口两端待以相应的多余未知力X1,即杆3的轴力,相当系统如下图,由立法正则方程δ11+Δ1F=0,此式表明切口两端沿X1方向的相对位移等于0。在静定基上加上与X1相对应的一对单位力,由节点A处的平衡方程的F31=1,
F21=F11=1/2cosα,l3=l1cosα=l2cosα,有单位载荷法求便可得δ11、Δ1F,代入立法正则方程求得X1
2 三种分析方法的力学本质讨论
现在我们来探讨上述两种拉、压杆小变形几何分析的力学本质。如图 2所示,设 A B 杆在荷载作用下移动到 AB’位置,此杆件位移包括方位改变所引起的刚体位移和轴向变形所引起的位移。以A点为圆心,以杆件原长为半径画圆,交 AB’于点 B1,在小变形条件下,用AB的垂线BB1来代替圆弧 BB1;则 B1B’之间的长度即是 AB杆件的伸长△l,如图2 ( b ) 所示。此方法以杆件位移后位置作刚体位移的垂线基准和变形量度的基准,上述第 1 种解法就采用此分析方法来建立了3杆桁架的几何变形协调方程。另外一种分析方法如图2 ( c ) , 以A为圆心,以 AB’为半径做圆弧交 AB 的延长线于B2点。同样在小变形条件下,我们用垂线来代替圆弧。则 BB2就是 AB杆件的伸长△l 。。上述后一种解法就是基于这种分析方法来求解的。
上述分析说明,如果以变形后位置来量度杆件所发生的微小变形,那么我们在用垂线代替圆弧时,就必须垂直于杆件变形后所在的位置。而如果以变形前位置作为变形量度基准,那么在用垂线代替圆弧时,就必须要垂直于杆件变形前的位置,,就会出现图 3 ( a ) , 图3 ( b