矢量分析与场论基础
主要内容:
矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础
场论基础(梯度、矢量场的散度和旋度)
矢量场的Helmholtz定理
§1 正交坐标系
1. 正交曲线坐标
三维空间任意一点的位
置可通过三条相互正交
曲线的交点来确定。该
三条正交曲线组成确定
三维空间任意点位置的
体系,称为正交曲线坐
标系,三条正交曲线称
为坐标轴,描述坐标轴
的量称为坐标变量
§1 正交坐标系
2. 正交曲线坐标变换
三维空间中同一位置
可以用不同的正交曲
线坐标系描述。因此
不同坐标系之间存在
相互变换的关系,且
这种变换关系只能是
一一对应的
在任何正交曲线坐标系中,存在一组与坐标轴相
对应的单位矢量。如直角坐标系中的,
圆柱坐标系中的等。正交曲线坐标系
某个坐标方向上的单位矢量,它是该坐标变量为
常数
所对应曲面的单位法矢量。
§1 正交坐标系
直角坐标系
单位矢量:
矢量表示:
位置矢量:
基本变量:
圆柱坐标系
单位矢量:
矢量表示:
位置矢量:
基本变量:
球面坐标系
单位矢量:
矢量表示:
位置矢量:
基本变量:
坐标变换
圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
§2 标量场与矢量场
按物理量的性质
标量场物理量为标量(温度场,电位场)
矢量场物理量为矢量(电场、磁场)
场概念的引入:物理量(如温度、电场、磁场)在空间中以某种形式分布,若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值,则称在该空间中确定了该物理量的场。
按物理量变化特性
静态场物理量不随时间的变化而变化
时变场物理量随时间的变化而变化
场的分类:
§3 标量场的梯度
1 标量场的等值面
为了直观表示场在空间的变化,经常使用场的等值面来直观。所谓等值面是标量场为同一数值各点在空间形成的曲面。
导体等电位面
2 方向导数
在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值,还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。
§3 标量场的梯度
方向性导数表示场沿方向的空间变化率。
M(r)
M(r+ΔL)
§3 标量场的梯度
为的方向余弦
3 标量场的梯度
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