函数对称性问题.doc

简析函数对称性问题

函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题,也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。
命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线对称。
特别地,当a=-b时,函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。
推论1、函数与函数的图象关于直线对称
证明:,
所以,将函数的图象向左平移个单位得的图象;将函数的图象向右平移个单位得函数的图象,而与的图象关于 y轴对称,可得两函数图象关于直线对称。记忆技巧:令,易得,即对称轴方程。
命题2、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线对称。反之亦然。
推论2、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx),,则函数y=f(x)的图象关于直线对称。反之亦然。
命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。
下面举例说明其应用。
[例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称
解:由命题1知,两函数图象关于, 即关于直线x=1对称。
[例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根,则方程f(1-2x)=0 有_____个根,两方程的所有的根之和为______
解:设,由推广1知,两函数图象关于对称,故两函数图象与x轴交点个数相同,方程f(1-2x)=0也有三个根,这六个跟之和为.
[例3] 函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)
若方程f(x)=0恰有2n()个根,则这些根的和为多少?
若方程恰2n+1()个根,则这些根的和为多少?
解:由命题2知,y=f(x)图象关于对称。
若方程f(x)=0恰有2n个根时,由于方程的根在x轴上对应点关于对称,所以,,故.
若方程f(x)=0恰有2n+1个根时,则方程必有一根为,另外2n个根在x轴上对应点关于对称,故.
[例4]函数,(1)证明函数的图象关于(-1,-1)对称。(2)求f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值.
解: 因为,由的对称中心(0,0),平移可得对称中心(-1,-1),由命题3知,f(x)+f(-x-2)=-2 ,
则 f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)=.
补充,供参考
1、函数自身对称性
命题1 函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或。证明(略)
推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是。
命题2 函数的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是
证明(略)
推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是
偶函数、奇函数分别是命题1,命题2的特例。
命题3 (1)若函数的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(),则是周期函数,且是其一个周期。
证明:函数的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称,则,,所以
,所以是它的一个周期。
(2)、若一个函数的图象有两条不同的对称轴,分别为x=m,x=n,那么这个函数是周期函数。
证:因为函数的对称轴为x=m,x=n (m≠n), 则