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第一章矢量分析
主要内容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度
3. 矢量场的环量与旋度
4. 无散场和无旋场
5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理
8. 正交曲面坐标系
矢量的几何表示:用一条有方向的线段来表示
矢量的几何表示
矢量可表示为: 其中
为模值,表征矢量的大小;
为单位矢量,表征矢量的方向;
说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗,如。教材上的矢量符号即采用印刷体。
矢量代数
标量和矢量
标量与矢量
标量:只有大小,没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等)
矢量:既有大小,又有方向的物理量(作用力,电、磁场强度)
矢量的代数表示
矢量用坐标分量表示
z
x
y
矢量的运算
矢量的加法和减法
说明:
1、矢量的加法符合交换律和结合律:
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解:
矢量的乘法
矢量与标量相乘
标量与矢量相乘只改变矢量大小,不改变方向。
矢量的标积(点积)
说明:
1、矢量的点积符合交换律和分配律:
2、两个矢量的点积为标量
矢量的矢积(叉积)
说明:
1、矢量的叉积不符合交换律,但符合分配律:
2、两个矢量的叉积为矢量
3、矢量运算恒等式
q
sin
AB
q
y
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
标量场()和矢量场(A)
y
x
标量场的梯度
如果物理量是标量,称该场为标量场。
例如:温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量,称该场为矢量场。
例如:流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场。
时变标量场和矢量场可分别表示为:
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应,称在该区域上定义了一个场。
从数学上看,场是定义在空间区域上的函数:
标量场和矢量场
静态标量场和矢量场可分别表示为:
标量场的等值面
标量场空间中,由所有场值相等的点所构成的面,即为等值面。即若标量函数为,则等值面方程为:
方向导数
方向导数表征标量场空间中,某点处场值沿特定方向变化的规律。
方向导数定义:
方向导数与选取的考察方向有关。
方向导数物理意义:
,标量场在处沿方向增加率;
,标量场在处沿方向减小率;
,标量场在处沿方向为等值面方向(无改变)
方向导数的计算
——的方向余弦。
式中:
分别为与x,y,z坐标轴的夹角。