quadratic form
二次型
一、二次型及其标准形的概念
称为二次型.
(我们仅讨论实二次型)
二、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,
就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对
称矩阵,,二
次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系.
§ 二次型及其矩阵表示
注意
2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定,即
正因为如此,讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.
若且,则
1. 二次型的矩阵总是对称矩阵,即
(这表明在选定文字下,二次型
完全由对称矩阵A决定.)
(1) 约定①中aij=aji,i<j ,由 xixj=xjxi,有
§ 二次型及其矩阵表示
②
2、二次型的矩阵表示
§ 二次型及其矩阵表示
则矩阵A称为二次型的矩阵
(matrix).
§ 二次型及其矩阵表示
(2)
令
§ 二次型及其矩阵表示
于是有
二、非退化线性替换
§ 二次型及其矩阵表示
1、定义
是两组文字,
关系式
③
称为由的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换
(non-degenerate linear transformation).
positive definite quadratic form
正定二次型
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