面间距的计算.doc

面间距的计算
该文主要探讨三个方面的问题:
1 面指数为()的晶面族的面间距的计算
2 密勒指数指数为(h k l)的晶面族的面间距的计算
3 复式格子中指定的两族相互平行的晶面之间面间距的多值性分析
第一个问题的分析
同老师课堂上所讲,正格子中的一族晶面()与一个倒格矢点相对应;正格子中的一族晶面()与倒格矢正交;并且正格子()晶面系的面间距为。
第二个问题的分析
首先明确密勒指数与面指数的区别。两者均可以用来标志不同族的晶面,且标志方法相同。即取定原点和坐标轴,找出晶面族中任一晶面在轴矢上的截距,截距取倒数,再化为互质的整数。两者的区别在于表示晶面时的参考坐标系不同,即选取坐标轴的基矢不同:面指数取原胞的基矢方向为坐标轴的方向,密勒指数取晶胞的基矢方向为坐标轴的方向。原胞是晶体的最小重复单元,而晶胞则是对称性较高的单元,通常比原胞大。同一个晶面,参考坐标系不同,面指数与密勒指数一般不相同。例如对于面心立方晶格,密勒指数为(100)和(001)的面,其面指数分别为(101)和(110)。相同的指数,不同的参考坐标系,晶面一般不同,面间距也有差别。
对于简单格子,它的晶胞即原胞,所以密勒指数(h k l)的晶面族的面间距的计算即面指数(h k l)的晶面族的面间距计算,此时可用公式来计算。
然而对于非简单格子(即体心,面心,底心格子),晶胞除顶角位置(可设想为基元的位置)有原子外,非顶角的面心(体心,底心)还有原子。所有原子的位置不能全用(h, k, l取整数)去概括。这样再用公式来计算就会出现问题。
从图一可以很清楚地说明这个问题。

如果晶体是简立方晶体,则在一个立方体内(即在一个晶胞内)只能画出一个(110)面ABCD,这时的面间距为,但对于面心立方晶体,通过立方体侧面的面心还可以做出两个(110)晶面A’B’C’D’和A”B”C”D”,这时其面间距仅是前者的1/2,即。
由上可得,在计算面间距时,必须采用与原胞基矢相应的倒格矢,即求出与密勒指数(h k l)相对应的面指数()。这里介绍一种通过晶面的法线方向作为桥梁来计算的方法。在笛卡尔坐标系中,我们可以分别定义出两种参考系的基矢:原胞的基矢和晶胞的基矢(均用来表示)则在两种参考系中,我们根据面指数和密勒指数分别求出相应晶面的法线矢量,而矢量本身是不依赖于参考系的,所以根据矢量不变来确定h k l和三者间的关系。
具体以面心立方晶格为例,晶胞和原胞的基矢的选择如图。
对于晶胞,其三个基矢为,(h k l)晶面的法线矢量表成
(法线矢量的求法:,为晶面上任意两不平行的方向)
对于原胞,三个基矢为其倒格矢为
则()晶面的法线矢量
由可得
可以解出,将化为互质的整数即得面指数。
最后可以带入简单晶面计算检验一下结论:密勒指数为(100)和(001)的面,其面指数分别为(101)和(110)。
第三个问题的分析
复式格子是基元