则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.
一、概念的引入
在数的运算中,
当数时,
有
其中为的倒数,
(或称的逆);
在矩阵的运算中,
单位阵相当于数的乘法运算中
的1,
那么,对于矩阵,
如果存在一个矩阵,
使得
二、逆矩阵的概念和性质
定义对于阶矩阵,如果有一个阶矩阵
则说矩阵是可逆的,并把矩阵称为的逆矩阵.
使得
例设
(1) 若是可逆矩阵,则的逆矩阵是唯一的.
若设和是的逆矩阵,
则有
可得
所以的逆矩阵是唯一的,即
【说明】
(2)由逆矩阵的定义可以看出,A, B互为逆
矩阵,即B=A-1, A=B-1, 所以,(A-1)-1=A .
例设
解
设是的逆矩阵,
则
利用待定系数法
又因为
所以
【注】此方法只适合低价矩阵,后面将介绍高价逆矩阵的求法。
例设A、B、C均为 n 阶方阵,且满足
ABC=E,则( )
(A) ACB=E (B) CBA=E
(C) BAC=E (D) BCA=E
定义1 若 n 阶方阵A 的行列式,则
称 A 为非奇异的(或非退化的)。否则, 称 A 是
奇异的(或退化的)。
定义2 设 n 阶方阵, Aij是中元素
的代数余子式。矩阵
称为矩阵A 的伴随矩阵。
定理1 矩阵可逆的充要条件是,且
证明
若可逆,
按逆矩阵的定义得
证毕
推论:矩阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵。
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