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线性方程组解的初步讨论
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情形1 ()式中dr+10. 方程组()是一个矛盾方程组, 无解. 因此线性方程组()也无解.
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情形2 ()式中dr+1=0并且r=n.
由最后一个方程得xr的值并经逐一回代求得其它各xi 唯一的值. 从而方程组(15) 的解唯一.
方程组()以及方程组()与下述方程组同解.
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情形3 ()式中dr+1=0并且rn.
方程组()以及方程组()与下述方程组同解:
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变元xr+1, xr+2, …, xn任意取一组值:sr+1, sr+2, …, sn, 此时应用情形2, 可得变元x1, x2, …, xr确定的一组值: s1, s2, …, sr. 从而,
(s1, s2, …, sr, sr+1, sr+2, …, sn)
为方程组()的一个解. 再由变元xr+1, xr+2, …, xn的任意性, 方程组()有无穷多个解.
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式子()中变元xr+1, xr+2, …, xn因可自由取值, 故称作为自由变元.
而变元x1, x2, …, xr(依赖于xr+1, xr+2, …, xn) 系数是阶梯形中不为零的行中第一个不为零的数, 故称其为约束变元或首项变元.
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