六　正弦定理和余弦定理.doc

第六节正弦定理和余弦定理
【最新考纲】掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.


(1)S=ɑ·hɑ(hɑ表示边ɑ上的高);
(2)S=ɑbsin C=ɑcsin_B=bcsin_A.
(3)S=r(ɑ+b+c)(r为内切圆半径).
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)在△ABC中,∠A>∠B必有sin A>sin B.( )
(2)若△ABC中,ɑcos B=bcos A,则△ABC是等腰三角形.( )
(3)△ABC中,若b2+c2>ɑ2,则△ABC为锐角三角形.( )
(4)在△ABC中,若A=60°,ɑ=4,b=4,则∠B=45°或∠B=135°.( )
答案:(1)√(2)√(3)× (4)×
△ABC中,若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC的形状为( )


解析:由正弦定理+=
∴a2+b2=c2
故△ABC为直角三角形.
答案:B
4.(2016·课标全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b=( )
A. B.
解析:利用余弦定理列方程求解.
由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,
解得b=3或b=-(舍去),故选D.
答案:D
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为ɑ,b,c,已知A=,ɑ=1,b=,则B=________.
解析:由正弦定理=,代入得sin B=,
故B=或B=.故答案为或.
答案:或
一条规律
在△ABC中,A>B⇔ɑ>b⇔sin A>sin B.
两种途径
判定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
两点注意
,、两解、无解.
在△ABC中,已知ɑ、b和A时,解的情况如下:
,等式两边一般不要约去公因式,以免漏解.
一、选择题
△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( )


解析:由正弦定理,得ɑ2+b2<c2,
∴cos C=<0,则C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
答案:C
△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )


解析:由正弦定理得=,
∴sin B===>1.
∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
答案:C
3.(2016·长春三模)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为ɑ,b,c,若ɑ2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为( )
A. C.
解析:∵ɑ2=b2+c2-bc,∴cos A=,∴A=,又bc=4,∴△ABC的面积为bcsin A=,故选C.
答案:C
4.(2017·兰州诊断)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为ɑ,b,c,且bsin A=ɑcos =( )
A. B. C. D.
解析:根据题意结合正弦定理,
得sin Bsin A=sin Acos B.
因为sin A≠0,所以sin B=cos B,
即=tan B=,所以B=.
答案:C
5.(2014·课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
B.

解析:由题意知S△ABC=AB·BC·sin B,
则=×1×sin B,解得sin B=.
∴B=45°或B=135°.
当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+()2-2×1××=+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+()2-2×1××=5,解得AC=.符合题意.
答案:B
二、填空题
6.(2015·安徽卷)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=________.
解析:∠C=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.
答案:2
△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是________.
解析:由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得
ɑ+b=2c.
故cos C=