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定积分计算的总结
闫佳丽
摘要:本文主要考虑定积分的计算,,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法.
关键词:定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.
1前言
17世纪后期,出现了一个崭新的数学分支—,.
2正文
那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数在有定义,任给一个分法T和一组,有积分和,若当时,积分和存在有限极限,设,且数与分法T无关,也与在的取法无关,即有,则称函数在可积,是函数在的定积分,,a与b分别是定积分的下限与上限;是被积函数;是被积表达式;,积分和不存在极限,,,与围成的曲边梯形的面积.
但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的,这就涉及到定积分的三类可积函数:
1、函数在闭区间连续,则函数在闭区间可积.
2、函数在闭区间有界,且有有限个间断点,则函数在闭区间可积.
3、若函数在闭区间单调,则函数在闭区间可积.
在定积分的计算中,常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.
一、按照定义计算定积分.
定积分的定义法计算是运用极限的思想,:任意分割,,,,,那么就可以根据积分和的极限唯一性可作的特殊分法,选取特殊的,计算出定积分.
第一步:分割.
将区间分成n个小区间,一般情况下采取等分的形式.,那么分割点的坐标为,,......,,在上任意选取,但是我们在做题过程中会选取特殊的,即左端点,.
第二步:求和.
计算n个小长方形的面积之和,也就是.
第三步:取极限.
,即,也就是说分的越细,那么小曲边梯形就越接近小长方形,当n趋于无穷之时,小曲边梯形也就是小长方形,那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积,也就是定积分的积分值.
用定义法求定积分.
解:因为在连续
所以在可积
令
将等分成n个小区间,分点的坐标依次为
取是小区间的右端点,即于是
所以,
二、微积分基本公式:牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式,可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数在区间内必须连续。求连续函数的定积分只需求出的一个原函数,再按照公式计算即可.
定理:若函数在区间连续,且是的原函数,则.
证明:因为是的原函数,即有
积分上限函数也是的原