组合数求和问题剖析
一、逆用二项式定理:
例1:(2005,天津)设= .
解:设
规律总结:对于形如(其中组成等比数列)的求和问题,均可逆用二项式定理来解。
二、赋值法:
例2:求证:①
②
证明:①在
②令
规律总结:在二项式定理中令取一些特殊值可以解决形如的求和问题。
三、倒序相加法
例3:求的值。
解:设
规律总结:因为组合数中成立,与等差数列具有类似的性质,因此对于形如:(其中成等差数列)的式可求和均可利用倒序相加的方法。
四、逐项合并法:
例4:求的值。
解:原式
规律总结:利用可求形如:的值。
五、裂项相消法:
例5:同例3,由得:
规律总结:对于组合数的性质的应用,除了正用外,还要注意逆用及变形用即:正用是合并项,而逆用和变形用把一项拆为两项。
六、利用求和:
例6:求
解1:利用倒序相加法。
解2:
七、构造法:
例7:求证:
证明1:构造排列组合数,这件事可这样来做,将n+m个元素分为两类,一类中含有n个元素,另一类中含有m个元素,不含第一类元素的取法有含K个第一类元素的取法有种不同取法;又由组合定义,从m+n个不同元素中取出K个元素的组合数为所以原式成立。
证明2:构造二项式定理:利用的展开式中项的系数来证。的系数为:的系数为故原式成立。
规律总结:此法适用于各项为二个组合数的积,其中各项中组合数下标只出现两个自然数,各项中两个组合数的上标之和为常数,且一个上标由0依次递增到此常数,另一上标由此常数依次递减为0的组合数的求和问题。
总之,求含有组合数的数列和要灵活动用二项式定理及组合数的性质。
组合数求和问题剖析 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
