平面曲梁非线性有限元分析g.doc

平面曲梁几何非线性有限元分析
高原
(铁道第四勘察设计院桥梁处, 湖北武汉 430063)
摘要基于文[5]所建立的曲梁单元,根据非线性的应变-位移关系,推导出平面曲梁单元的切线刚度矩阵,并编制了平面曲梁几何非线性分析程序。计算结果表明平面曲梁单元计算精度明显高于以直梁模拟曲梁的结果。
关键词平面曲梁单元,刚度矩阵,有限元法,非线性
THE PLANAR CURVED BEAM IN GEOMETRIC
NONLINEARITY FINITE ELEMENT ANALYSIS
GaoYuan
Abstract Based on the curved beam element derived in paper[5], according to the nonlinear curvature-displacment relationship the tangential stiffness matrixes has derived ,much more, the code of program are given. The numerical example shows that the precision of result calculating by the method of this paper is higher than by the method in which curved beam simulated by straight beam.
Keyword planar curved beam elements stiffness matrixes finite element analysis Geometric nonlinearity
目前人们通常采用的用一系列直梁近似模拟曲梁的计算方法,因其所分单元多,刚度矩阵大,计算速度慢,计算精度差已越来越不能满足桥梁结构分析的需要,曲梁代替直梁对曲线结构的非线性进行分析,已经成为人们逐渐重视的问题。曲梁单元可以考虑初始曲率的影响,并且能正确的反应拱在变形过程中轴向变形与弯曲变形和弯曲变形与扭转变形的相互耦合,从而得到更为精确的结果。
1平面曲梁单元的非线性几何方程
以一段圆弧为例,由文[5]知:

(1)
2平面曲梁单元的位移模式
(2)
3非线性应变——位移关系
将式(2)代入式(1)得

(3)
4虚功方程
由内力虚功等于外力虚功知
(4)
虚应变与节点虚位移的关系式为
(5)
(6)
对式(3)求导得到并将式(4)代入式(5)并比较得B0,BL的表达式
在数学软件Mathematics中计算得到曲梁单元的切线刚度矩阵
——曲梁单元几何刚度矩阵,它计及了轴向力对横向位移的影响;
——曲梁单元线性刚度矩阵;
——曲梁单元大位移刚度矩阵
5 等效节点荷载
等效节点荷载可通过虚功原理进行推导
线荷载
设荷载集度为q,任一点虚位移,应用虚功原理得等效节点荷载为:
(7)

设荷载为p,作用在曲梁左端处,
(8)
6 坐标转换矩阵
坐标转换矩阵为
(9)
7程序编制
利用修正牛顿——拉裴逊法求解非线性方程
8算例
如图1所示圆弧形无铰拱,拱轴线的半径R=10m,圆