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第2章离散傅里叶变换
引言
周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
离散傅里叶级数(DFS)的性质
有限长序列离散傅里叶变换(DFT)
离散傅里叶变换的性质
频域采样理论
引言
在第1章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列,因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要, 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它, 但是,这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点,可以导出一种更有用的变换:离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, 简写为DFT)。它本身也是有限长序列。
作为有限长序列的一种傅里叶表示法,离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外,而且由于存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换,因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换,我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式,见图2-1所示。
图 2-1 各种形式的傅里叶变换
一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换,即频谱Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数,这一变换对的示意图见图2-1(a)。该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周期连续时间信号xa(t)的情况相同。
一个周期性连续时间信号xp(t),其周期为Tp,该信号可展成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为,即xp(t)的傅里叶变换或频谱Xp(jkΩ)是由各次谐波分量组成的,并且是非周期离散频率函数,xp(t)和Xp(jkΩ)的示意图见图2-1(b)。其中,离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔为Ω=2πF=2π/Tp,k为谱谐波序号。
在第1章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔采样的信号(x(nT)),即离散时间信号——序列x(n),其傅里叶变换X(ejω)是以2π为周期的连续函数,振幅特性如图2-1(c)所示。这里的ω是数字频率,它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振幅特性的频率轴用Ω表示,则周期为Ωs=2π/T。
比较图2-1(a)、(b)和(c)可发现有以下规律:如果信号频域是离散的,表现为周期性的时间函数。相反,在时域上是离散的, 则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设想,一个离散周期序列,它一定具有既是周期又是离散的频谱, 其振幅特性如图2-1(d)所示。
表2-1 四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
可以得出一般的规律:一个域的离散对应另一个域的周期延拓, 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表2-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。
下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论,然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换。
周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
设是一个周期为N的周期序列, 即
r为任意整数
周期序列不是绝对可和的,所以不能用Z变换表示,因为在任何z值下,其Z变换都不收敛,也就是
但是,正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样, 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示,该级数相当于成谐波关系的复指数序列(正弦型序列)之和。也就是说,复指数序列的频率是周期序列的基频(2π/N)的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为
(2-1)
式中, k, r为整数。