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简单的逻辑联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”,它们与日常生活中这些词语所表达的含义和用法是不尽相同的,下面我们就分别介绍数学中使用联结词“或”、“且”、“非”联结命题时的含义与用法。
为了叙述简便,今后常用小写字母p,q,r,s,…表示命题。
思考1:下列三个命题之间有什么关系?
(1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除
一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作
读作“p且q”.
简单命题
简单命题
复合命题
一、由“且”构成的复合命题
可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题.
思考2: p且q的真假与p, q的真假有什么关系?
一般地,我们规定:
当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q 两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题。
简记为:一假则假
p
q
开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题p∧q的真与假。
练习1:将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:
(1)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;
(2)p:36是6的倍数,q:36是7的倍数;
(3)p:1是质数,q:1是合数
解: (1)菱形的对角线互相垂直且平分
p真, q真, 真
(2)36是6的倍数且是7的倍数
p真 q假假
(3)1是质数且是合数
p 假,q假假
练习2:用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假.
(1)1既是奇数,又是素数;
(2)2和3都是素数.
二、由“或”构成的复合命题
思考1:下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数;
(2)27是9的倍数;
(3)27是7的倍数或是9的倍数.
可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题。
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p ∨ q,读作“p或q”
一般地,我们规定:
当p,q两个命题中有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题。
开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题的真与假.
p
q
思考2: p或q的真假与p, q的真假有什么关系?
简记为:一真则真
练习3:判断下列命题的真假:
(1)2≤2;
(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
解:(1)命题“2≤2”是由命题p:2=2;q:2<2用“或”联结而成因为p是真命题所以命题p或q是真命题
(2) 真命题
(3)假命题
思考:
如果p∧q为真命题,那么p∨ q一定是真命题?反之,如果p ∨ q为真命题,那么p ∧q一定是真命题?
三、由“非”构成的复合命题
思考1:下列两个命题间有什么关系?
(1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
可以看到命题(2)是由命题(1)的否定。
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作┓p,
读作“非p”或“p的否定”
若p是真命题,则必是假命题;若p是假命题,则必是真命题.
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面
=
>
是
都是
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
否定
≠
≤
不是
不都是
至少有两个
没有一个
某个
某些
注:
逻辑联结词中的“非”相当于集合中在全集中的补集