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谈微积分与极限思想
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利用极限思想解决问题 6
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谈微积分与极限思想
摘要
微积分是研究微分学和积分学的统称,也称为分析学,或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是整个微积分学的基础,是微积分的基本思想。数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
关键词
微积分;极限理论;数学分析;数学文化
微积分理论
如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。微积分(Calculus),意为计算,后来人们也将微积分称为分析学,或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
微积分的应用
微积分是研究微分学和积分学的统称,微分学包括求导和微分的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分和定积分的概念和应用,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
(1)运动中速度与距离的互求问题
已知物体移动的距离S表为以时间为变量的函数S = s(t),求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来,已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式,求速度和距离。
(2)求曲线的切线问题
应用在光学中,为了求光线与透镜曲线的法线间的夹角,以便应用光线反射定律,需要求法线或切线;另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中,求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向,即轨迹的切线方向。
(3)求长度、面积、体积、与重心问题等
这些问题包括求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个相当大的物体作用于另一物体上的引力。如求面积问题,早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积,当分割的份数越来越多时,所求得的结果越来越接近所求的面积的精确值。但是,应用穷竭法必须添上许多技艺,难于计算,后来由于微积分的创立而根本地修改了。
(4)求最大值和最小值问题
炮弹在炮筒里射出,它运行的射程依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。十七世纪初期,Galileo断定发射角是时达到最大射程;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。
微积分基本定理
微积分基本定理又称作牛顿-莱布尼茨公式,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且F(x)是f(x)的一个原函数,则这个公式叫做牛顿-莱布尼茨公式。
微积分与极限理论
微积分学的创立,极大地推动了数学的发展