第四章微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1
变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则到的平均速度为
而在时刻的瞬时速度为
自由落体运动
求非均匀棒的密度(一点的线密度
均匀棒的密度
单位长的质量
非均匀:建立坐标系
0
给出质量函数
取棒的一段
到
这段的质量
这段上的平均密度
越小,
就越接近于
点的线密度
因而
例 2
设函数
在
点附近有定义。对于自变量在
点的任一改变量
,函数在该点的相应改变量为
若极限
存在,则称函数
在
点可导,并称极限值为
在
点的微商或导数,记为
或
或
说明,微商是一种特殊的极限
1 微商的定义
上面两个例子:虽然问题的具体意义不同,但仅从数量方面来看,它们都是利用函数的改变量与自变量的改变量之比(即函数的平均变化速度)的极限来刻画这个函数在一点的变化速度,抽象化的。
求
在
它们之比为
令
取极限,即得函数
在
的微商
给自变量以改变量
,函数
有对应的改变量
例3
的微商。
求
在
点的微商。
时,函数有改变量
它们之比为
注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一,就是
因此
当给自变量以改变量
例4
L
Q
T
R
O
A
B
y
x
为曲线
上点
在
处的
法线方程为
处切线(如果存在)的斜率。
由此:曲线
切线方程为
2 微商的几何意义
①切线:
割线的极限位置——切线位置
开始
割线的极限位置——切线位置
①切线:
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