多自由度体系近似计算方法-9.ppt

多自由度体系近似计算方法
3-1 邓柯莱(Dunkerly)法
邓柯莱(Dunkerly法)
迹法
确定系统基频的估算公式
方法特点:简单实用
定义
系统的动力矩阵为
n个自由度系统的特征值问题为
标准特征值问题
若将特征值按降序排列
系统的基频为
标准特征值问题的特征行列式为
动力矩阵的对角线元素
由代数方程理论,多项式根与系数关系的韦达定理
动力矩阵A的迹
若质量矩阵M为对角阵,动力矩阵的迹为
对角线元素
M
对角线元素
1
设弹性系统只保留第 i 个质量 mi 及相应的弹簧δii ,则系统视为单自由度系统的固有频率为
邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限
只有当
时,迹法可给出比较准确的基频估算值
算例表明,梁结构通常具有以上的特点
举例
三自由度梁弯曲的固有频率与主振型
m
2m
m
系统的质量矩阵与柔度矩阵
举例
均质等直梁,试估算梁中央附加集中质量M时的基频
M
m
EJ
均质简支梁的基频
记简支梁的基频为
不计简支梁质量时系统的固有频率为
均质梁中央附加集中质量M时的基频
M=m
Dunkerly法
Rayleigh法
精确解
3-2 矩阵迭代法
工程中的振动问题的响应分析中,系统的低阶固有频率及主振型占有重要地位
矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法
第一阶固有频率及主振型
向量
向量
给定一个初始迭代向量 x1,由展开定理
x1 与Φ(1) 不正交
所占比重增加
所占比重减少
动力矩阵迭代一次后,扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势
第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大
随着迭代次数的增加,第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数充分大时,可近似地得到
迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍λ1
迭代过程中应对迭代向量作归一化处理
迭代过程收敛速度取决于比值
趋于零的速度
迭代次数取决于系统本身的物理参数和试算向量的选取
举例
矩阵迭代法计算系统的基频及主振型
m
m
2m
k
k
2k
x1
x2
x3
系统质量矩阵和刚度矩阵
系统动力矩阵
选取初始迭代向量