内积空间
第二章
一,子空间的正交
1,定义:
§ 正交子空间
1) 设是欧氏(酉)空间V中的子空间,
如果对恒有
则称向量与子空间正交,记作
2) 与是欧氏(酉)空间V中的两个子空间,如果对
则称子空间与为正交的,记作
恒有
①当且仅当中每个向量都与正交.
②
③当且时,必有
说明:
④若,则:
2,定理:
(1),设酉(欧氏)空间,
为标准正交基,则:
(2),设,则:
证明:设:
反之,
令:
则有:
即:
二、正交子空间的和
1. 正交补的定义:
如果欧氏空间V的子空间满足并且
则称为的正交补子空间.
记作
2,定理:
证明:
证明:当时,V 就是的唯一正交补.
当时, 也是有限维欧氏空间.
取的一组正交基
(酉)空间V的每个子空间 V1 都有唯
一正交补V2=V1┴, 使得V=V1 V2.
由定理,它可扩充成V的一组正交基
记子空间
显然,
又对
即为的正交补.
且,
再证唯一性.
设是的正交补,则
由此可得
对由上式知
即有
又
从而有
即有
同理可证
唯一性得证.
②维欧氏空间V的子空间W满足:
①子空间W的正交补记为即
i)
ii)
iii)
注:
ⅳ) W的正交补必是W的余子空间.
但一般地,子空间W的余子空间未必是其正交补.
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