第十三章：动能定理.pdf

理论力学
第十三章
动能定理
大连理工大学土木水利学院
工程力学教研室
第十三章动能定理
§§1313--11 力的功力的功
§§1313--22 质点和质点系的动能质点和质点系的动能
§§1313--33 动能定理动能定理
§§1313--44 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率
§§1313--55 势力场势力场··势能势能··机械能守恒定律机械能守恒定律
§§1313--66 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用
§13-1 力的功
一.“十一项功”

r
W = F cosθ⋅ s = F ⋅ rr
功是代数量
单位 J(焦耳) 1 J = 1 N·m
§13-1 力的功
2. 变力在曲线运动中的功
δ
r
元功 w = F cosθ⋅ ds = F ⋅ drr
r
WwFr=∫MM22δ=∫·dr
12 MM11
r r
记 r r
F =++Fix Fy j Fkz
rr r
ddrxiyjzkr =++ d d
则 WFxF=∫M 2 (d + dy +Fz d)
12 Mx1 y z
§13-1 力的功
变力在曲线运动中的功
WFxF=∫M 2 (d + dy +Fz d)
12 Mx1 y z
曲线积分,一般与积分曲线即路径有关
3、重力的功
Fx = Fy = 0 Fz = −mg
W = ∫ z2 −mgdz = mg(z − z )
12 z1 1 2
= mgh
重力的功只与始、末位置有关,与路径无关,这种力称为有
势力,保守力。
§13-1 力的功
4、弹性力的功
弹簧刚度系数 k(N/m)
r
弹性力 r
Fkrle=−() − 0 r
弹性力的功为
A2 v v
W12 = F ⋅dr
∫A
1
A
= 2 −−kr()d l er ⋅ rr
∫A 0 r
1
§13-1 力的功
rr 11
因 errr⋅=⋅=ddd()d()d r r rr rr ⋅= r2 = r
r rr22 r
r
得 W = ∫ 2 −k(r −l )dr
12 r1 0
k δ
即 W = ( 2 −δ 2 )
12 2 1 2
式中δ1 = r1 − l0 ,δ 2 = r2 − l0
弹性力的功也与路径无关
δ
§13-1 力的功
3. 定轴转动刚体上作用力的功
v v
w = F ⋅dr = Ft ds = Ft Rdϕ
由 M z = Ft R
得δ wM= zdϕ
r
从角ϕ1 转动到角ϕ2 过程中力F 的功为
ϕ
W = 2 M dϕ
12 ∫ z
1ϕ
若常量M z =
则 W12 = M z (ϕ2 −ϕ1)
ϕ
d
)
i
v
+
F
iC
(
v
r
rr
C
.
d
⋅
M
i
=
v
F
iCiC
=
r
rr r
dd d
+ ϕ
功
d
C
⋅
v
r
d
C
i
⋅ϕ
,有
i
t
M
v
F
d
⋅
θ
=
ϕ
i
i
为力系对质心的主矩
v
d
r
r
C
F
cos
C
d
i
§13-1 力的功
⋅
M
F
i
M
,
v
=
F
+
i
r
iC
=
C
v
r
v
i
d()d
r
i
d
d
iC Ci
M
⋅
rr
⋅
rr
Fr MF
W
i
∑
′
v
R
=+
δ F
v
=
iCiC
F
∑∑
为力系主失
r
vv v
′
R
4. 平面运动刚体上力系的
ww
=⋅+
=
r
δδ F
:
作用在点的力的元功为
力系全部力的元功之和为
由两端乘
其中
其中
δ
§13-1 力的功
v v
W = FR′⋅ drC + M C dϕ
当质心由C1 ~ C2 ,转角由ϕ1 ~ ϕ2 时,力系的功为
C22r ϕ
WFrM=⋅+′ ddr ϕ
12 ∫∫C RC C
11ϕ
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,
也等