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巧用补形法解平面几何题
王立文王兴林
补形法就是根据题设的条件和图形,经过观察、分析和联想,运用添加辅助线的方法,将其拓展为范围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形,,谈谈它在解平面几何题中的应用.
一、补成直角三角形
例1 如图1,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,CD=1,AB=2,求BC、AD的长。
解:延长BC交AD的延长线于E。
∵∠A=60°,∠B=90°,
∴∠E=30°
在△CED中,
∵∠CDE=∠ADC=90°,CD=1,
∴CE=2CD=2,DE=。
在△AEB中,同理有:AE=2AB=4,。
∴BC=BE-EC=2-2,
AD=AE-DE=4-。
二、补成等腰三角形
例2 已知:如图2,△ABC中,,∠ABC的平分线交AC于E,CD⊥BE于D,求证:BE=ED。
证明:延长BA交CD的延长线于F。
易证△BCF是等腰三角形(ASA)。
∴。
∵,
∴。
作DG∥CA交BF于点G。
∴,
∴BE=ED。
三、补成等边三角形
例3 如图3,凸五边形ABCDE,有∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,求这个五边形的面积。
简解延长DE、BA相交于K,延长DC、AB相交于M。易知△DKM为等边三角形。
S五边形ABCDE=S等边三角形DKM-2S等边三角形AKE
=
四、补成平行四边形
例4 如图4,已知六边形ABCDEF中,若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,且AB+BC=11,AF-CD=3,求BC+DE的长。
解:延长FA、CB交于点P,延长CD、FE交于点Q。
∵∠A=∠B=120°,
∴∠PAB=∠PBA=60°,
∴∠P=60°,
∴△ABP是等边三角形。
同理可得:△DEQ是等边三角形。
∴∠P=∠Q=60°。
∵∠C=∠F=120°,
∴四边形PCQF为平行四边形。
∴PF=CQ。
于是PA+AF=CD+DQ,
∴AF-CD=DQ-PA=DE-AB。
∵AF-CD=3,∴DE-AB=3。
∵AB+BC=11,
∴BC+DE=14。
五、补成矩形
例5 如图5,在四边形ABCD中,∠BCD=∠CDA=120°,BC=5,CD=4,DA=6,求AB的长。
解:过D作BC延长线的垂线,垂足为M,过点A作MD延长线的垂线,垂足为N,过B作NA延长线的垂线,垂足为P,则四边形PBMN为矩形。
由