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贝叶斯公式在实际中的应用
姚**
北京科技大学数理学院,北京,100083
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Sunday, June 10, 2012
摘要:本文探讨了贝叶斯公式在生活中的几个简单的应用实例,并给出用贝叶斯公式分析这些问题的具体方法。
关键字:贝叶斯公式先验概率后验概率应用
1、贝叶斯公式及其简单证明
贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯( Thomas Bayes 1702-1763 ) 发展,来描述两个条件概率关系的著名概率公式。可以由乘法公式和全概率公式简单推导出。[1] 如下所示:
由乘法公式和条件概率定义有

再由全概率公式代入,即有
这个公式称为贝叶斯公式.
2、贝叶斯公式的应用原理
对贝叶斯公式,假定是导致试验结果的原因,称为先验概率,它反映了各种原因发生的可能性的大小,,。
3、贝叶斯公式的几个应用实例
、贝叶斯公式在医疗诊断中的应用[2]
例1::患病则呈阳性,,某人经检验结果呈阳性,他患肝癌的概率有多大?
解:设事件表示“患有肝癌”,事件表示“检验结果呈阳性”,
由题意知
由贝叶斯公式可知“他确实患有肝癌的概率”为:



显然,这使他大吃一惊,,,9996人不患肝癌,这1000人的检验中约有504人的结果呈阳性,其中约500人都是“虚惊一场”.因此,减少“虚报”“初查”,再对有可疑之人进行“甲胎蛋白质检查”.如
,,这样就大大提高了此法的准确率了.
、贝叶斯公式在营救搜索中的应用[3]
例2 、飞机坠落在甲、乙、丙3个区域之一,营救部门判断其概率分别为用直升机搜索这些地域,若有残骸,发现的概率分别为,若已用直升机搜索过甲区域,在这种情况下,试计算飞机落入甲、乙、丙3个区域的概率.
解 以分别记为飞机落入甲、乙、丙3个区域,依题意得

再以C记用直升机搜索过甲区域未发现残骸,则
P(C)= =,
从而所求概率为
==,
==
==
分析得到部分信息后对先验概率重做评估是贝叶斯公式的典型应用
、贝叶斯公式在统计决策中的应用[4]
目前,市场竞争日趋激烈,,是进行统计决策的重要工具.
例3、一种新产品,一个推销员去推销,成功记为“”,失败记作“”,推销员的主观概率,,成功的收益为50000元,失败的收益为-3000元,请咨询公司作预测调查,有两种调整方法1,2,其费用分别为2000元,3000元,若同时进行1,2,费用为4000元,了解咨询公司的业绩,预报的结论为:
对l:
对2: (:可行;:不可行)
现有如下六种决策:
、不进行调查; 、只进行1 ; 、只进行2 ; 、1,2同时进行;
、