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函数的单调性
教学目的:理解函数单调性概念,掌握判断函数单调性的方法,会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。
教学重点:函数单调性的概念与判断
教学过程:
一、问题情境
:,θ=f(t)
:说出气温在哪些时间段内是升高的?怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征?
二、学生活动
问题1:观察下列函数的图象(如图1),指出图象变化的趋势.
(2)
y
x
O
y=(x--1)2--1,
x∈R
-1
1
2
y
x
O
y=,
x∈(0,+∞)
1
(3)
1
(1)
y
x
O
y=2x+1,
x∈R
(4)
y
x
O
y=f(x),x∈[0,24]
1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
2
4
6
8
10
-2
图1
观察得到:随着x值的增大,函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势,有的呈逐渐下降的趋势,有的在一个区间内呈上升的趋势,在另一区间内呈逐渐下降的趋势.
问题2:你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗?
讨论得到:
在某一区间内,
当x的值增大时,函数值y也增大Û图象在该区间内呈上升趋势;
当x的值增大时,函数值y反而减小Û图象在该区间内呈下降趋势。
函数的这种性质称为函数的单调性。
三、建构数学
问题3:如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢?
例如,怎样表述在区间(0,+¥)上当x的值增大时,函数y的值也增大?
能不能说,由于x=1时,y=3;x=2时,y=5就说随着x的增大,函数值y也随着增大?
能不能说,由于x=1,2,3,4,5,…时,相应地y=3,5,7,9,…就说随着x的增大,函数值y也随着增大?
答案是否定的。
例如函数y=(x--1)2--1(x∈R),当x=1,2,3,4,5,…时,相应地y=-1,0,3,8,15,…,就不能说随着x的增大,=-1时,y=3,就自变量的值而言,-1<1,而相应的函数值却有3>-1,即y不是随着x的增大而增大.
通过讨论,结合图(2)给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义。
o 1
y
x
y=x3
图-2
从图1中可以看出:
函数y=2x+1(x∈R)的单调增区间是(-¥,+¥);
函数y=(x-1)2-1(xÎR)的单调增区间是[1,+;
气温曲线所表示的函数的单调增区间是[4,14]。
问题4:如何定义单调减函数?(结合图(3)叙述)
(学生讨论回答)
从图1中可以看出:
函数y=(x-1)2-1(xÎR)的单调减区间是(-,1];
气温曲线所表示的函数的单调减区间是[0,4],[14,24]。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性,这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间。
图3
y
x
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
图2
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
x
如函数y=2x+1(x∈R)的单调区间是(-¥,+¥),函数y=(x-1)2-1(xÎR)的单调区间是(-¥,1]和[1,