函数单调性.doc

《函数单调性》教案
教材:人教版普通高中课程标准实验教科书数学(必修一)
授课教师:XXX
【教学目标】1. 知识与技能:通过形与数的结合使学生理解函数单调性的概念,初步掌握
函数单调性的描述方法以及判断、证明函数单调性的方法。
:通过实例,运用数形结合的思想,让学生由直观图形出发感
受图形变化趋势过渡到用准确的数学名词及数学语言来描述图形的变化趋
势,从而归纳出单调性的准确定义。通过对函数单调性的证明来提高学生
的理论推理能力。
:通过对单调性定义的探索归纳,培养学生仔细观察、认
真分析的良好习惯,通过带领学生对函数进行单调性的判断、证明来培养
学生严谨思考、逻辑分明的良好学习态度。
【重点】函数单调性的定义、判断、证明
【难点】抽象归纳函数单调性的概念以及根据定义证明函数的单调性
【教学准备】教法:引导、讲授
学法:尝试、归纳、总结、运用
教学媒体:powerpoint 投影仪
【教学过程】
教学过程(包括教师活动、学生活动预案)
教学媒体
设计意图
新课
1. 导入
(师)同学们,我们都有过这种体验:上楼梯的时候,越往上走,你就离地面更远;越往下走,你就离地面越近。如果我们把这种情形用图形表示出来会得到什么样的结论呢?
假设现在有一位同学在上楼梯,这位同学在上楼梯之前所站的位置为原点
利用生活中的例子引出课题
O,以楼梯所在的方向为X轴,过原点作出垂直于X轴的Y轴(如下图一),Y轴表示的即是这位同学与地面之间的垂直距离。
Y
O
X

图一
现在这位同学上的阶梯数转化与原点间的距离,也就是在XOY平面上这位同学所处的位置对应的X的值,与地面的垂直距离就转化为Y的值。同学们通过观察都发现了什么?
(生)这位同学越往上走,X就越大,Y也越大。
(师)对。大家回答的很好!在图一里,随着X的增大,Y也在增大。大家很自然地会想,这是不是数学里的一种性质呢?如果是,这种性质应该怎样来定义呢?我们又应该怎样用数学语言来描述它呢?我们再来看一看函数
1
-1
2
1
-2
-3
3
-1
2
Y
O
X
3
-2
-3
和的图像,它们有什么特点?
1
-1
2
1
-2
-3
3
-1
2
Y
O
X
3
-2
-3
图二的图像
图三的图像
Powerpoint、投影仪
Powerpoint、投影仪
通过提问,引发学生思考
让学生通过对具体函数的观察,思考并得出函数的特征,便于抽象得出单调性的概念
(师)大家观察图二和图三发现了什么?
(生)函数的图像从左至右是上升的;函数的图像在y轴的左侧是下降的,在y轴右侧是上升的。
(师)对!同学们归纳的很好。这种函数的“上升”和“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。那么,如何来描述函数图像的“上升”“下降”呢?
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)
…
9
4
1
0
1
4
9
…
以二次函数为例,列出x,y的对应值表一。
表一
对比图三和表一,可以发现:图像在y轴左侧“下降”也就是在区间(-∞,0]上,随着x的增大,相应的反而随着减小;图像在y轴右侧“上升”也就是在区间[0, +∞)上,随着x的增大,相应的也随着增大。
对此,我们可以这样描述“在区间[0, +∞)上,随着x的增大,相应的也随着增大”: 在区间[0, +∞)上,任取两个、,得到,,当时,有。这时,我们就称函数在区间[0, +∞)上是增函数。于是,我们就得到了增函数的定义。
2. 概念
Powerpoint、投影仪
启发学生思考,让学生对函数单调性有一个大体的感知
通过函数值和图形的结合,帮助学生理解函数单调性以及增、减函数的具体特征
增函数:一般地,设函数的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、,当时,都有,就称函数在区间D上是增函数。(增函数概念图如下)
大家可以看到,在区间D上函数值的变化趋势是随着自变量的增大而增大,其几何意义是从左向右看,图象是上升的。
说明:(1)在增函数中,如果把“当时,都有”改为“当时,都有”也是可行的。前面是“<(>)”,后面也是“<(>)”,只要步调一致,表示方法就是正确的。因此,“增函数”可以称为“步调一致增函数”。
(2)“当时,都有”反映出函数值随着自变量的增大而增大;从左往右看,图像是上升的。
(3)增函数一定要说明其存在的区间。
类似的,大家能不能给出减函数的定义呢?减函数的图像又有什么变化趋势和几何意义?
黑板、powerpoint、投影仪
通过图形与几何意义的结合,加深学生对