双层玻璃的功效问题
问题:北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果
模型准备:热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果:
厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d
模型假设:(根据上定律做假设)
(不考虑对流,辐射)
(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数)
,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
符号说明:
d:玻璃厚度
T1:室内温度,
T2:室外温度
Ta:靠近内层玻璃温度,
T2:靠近外层玻璃的温度
L:玻璃之间的距离
k1:玻璃热传导系数
k2:空气热传导系数
T1
T2
L
T a
Tb
模型构成:
由热量守恒定律:
过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
消去不方便测量的T1 ,T2,有
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,有热传导:
而
说明双层玻璃比单层玻璃保温,为得定量结果,考虑的s的值,查资料有
常用玻璃:k1=410-3 ~ 810-3 (焦耳/)
静止的干燥空气:k2=10 - 4 (焦耳/)
若取最保守的估计,有
显然Q/Q’可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效,它是h的函数,从图形考察它的取值情况.
此函数无极小值,从图中可知:
当h从0变大时,Q/Q’迅速下降,但h超过4后下降变慢,
h不易选择过大,以免浪费材料
模型应用:
通常取h4,有Q/Q’3%,此时双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达97%
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