第5章 减治法.ppt

第5章减治法Reduce and Conquer Method
算法设计与分析—本科生课程
Design and Analysis of Algorithm
海南大学信息科学技术学院
College of Information Science and Technology, Hainan University
2018/6/24
Reduce and Conquer Method
2
教学重点
减治法的设计思想,各种经典问题的减治思想
教学难点
二叉查找树,堆排序
教学内容及目标
知识点
教学要求
了解
理解
掌握
熟练掌握
减治法的设计思想
√
折半查找
√
二叉查找树
√
选择问题
√
插入排序
√
堆排序
√
淘汰赛冠军问题
√
假币问题
√
学习目标
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Reduce and Conquer Method
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第5章减治法
概述
查找问题中的减治法
排序问题中的减治法
组合问题中的减治法
阅读材料假币问题的复杂版本
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Reduce and Conquer Method
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概述
分治法:把一个大问题划分为若干个子问题,分别求解各个子问题,然后将子问题的解合并得到原问题的解。
减治法:同样把一个大问题划分为若干个子问题,但无须分别求解这些子问题,只需求解其中的一个子问题,因而无需对子问题的解进行合并。退化了的分治法。
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Reduce and Conquer Method
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减治法的设计思想
减治法将问题划分为若干子问题,并且规模为n的原问题的解与较小规模(通常是n/2)的子问题的解之间具有某种确定的关系:
(1)原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中;
(2)原问题的解与其中一个较小规模的解之间有某种对应关系。
由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系,所以,只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。
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Reduce and Conquer Method
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子问题
的规模是n/2
子问题的解
原问题的解
原问题
的规模是n
子问题
的规模是n/2
减治法的设计思想
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Reduce and Conquer Method
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例:计算an的值,应用减治技术得到如下计算方法:
应用分治法得到an的计算方法是:
O (log2n)
O (n log2n)
ï
î
ï
í
ì
>
´
>
=
=
-
且是奇数
且是偶数
1
)
(
1
)
(
1
2
2
)
1
(
2
2
n
a
a
n
a
n
a
a
n
n
n
减治法的设计思想
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Reduce and Conquer Method
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所以,通常来说,应用减治法处理问题的效率是很高的,一般是O(log2n)数量级。
减治法只对一个子问题求解,并且不需要解的合并。应用减治法(例如减半法)得到的算法通常具有如下递推式:
减治法的设计思想
对比分治法:
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第5章减治法
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减治法的设计思想
一个简单的例子—两个序列的中位数
问题描述:一个长度为n(n≥1)的升序序列S,处在第n/2个位置的数称为序列S的中位数。两个序列的中位数是他们所有元素的升序序列的中位数。现有两个等长升序序列A和B,试设计一个在时间和空间两方面都尽可能高效的算法,找出两个序列的中位数。
A={11, 13, 15, 17, 19}, B={2, 4, 10, 15, 20},则中位数为13
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第5章减治法
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减治法的设计思想
[想法] 分别求出两个序列的中位数,记为a和b;比较a和b,有下列三种情况:
① a = b:则a即为两个序列的中位数;
② a < b:则中位数只能出现在a和b之间,在序列A中舍弃a之前的元素得到序列A1,在序列B中舍弃b之后的元素得到序列B1;
③ a > b:则中位数只能出现在b和a之间,在序列A中舍弃a之后的元素得到序列A1,在序列B中舍弃b之前的元素得到序列B1;
在A1和B1中分别求出中位数,重复上述过程,直到两个序列中只有一个元素,则较小者即为所求。