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puter Aided Design
东南大学
黄卫
B样条曲线与曲面
1、 B样条的递推定义和性质
2、 B样条曲线的性质
3、 de Boor 算法
4、节点插入算法
5、B样条曲面
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性,但有两点不足:其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改;其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。1972 年,Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法,在保留Bezier方法全部优点的同时,克服了Bezier方法的弱点。
1、 B样条的递推定义和性质
(1)定义:
与Bezier曲线得定义方法类似,B样条曲线方程定义为:
其中,Pi(i=0,1,...,n)是控制多边形的顶点,Ni,k(t)(i=0,1,...,n)称为k阶(k-1次)B样条基函数,其中每一个称为B样条,它是一个称为节点矢量,即非
(k-1次)多项式样条。
B样条有多种等价定义,在理论上较多地采用截断幂函数的差商定义。我们只介绍作为标准算法的de Boor-Cox递推定义,又称为de Boor-Cox公式。约定0/0=0。
该递推公式表明:欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t),需要用到ti,ti+1,...,ti+k共k+1个节点,称区间[ti,ti+k]为Ni,k(t)的支承区间。曲线方程中,n+1个控制顶点Pi(i=0,1,...,n),要用到n+1个k阶B样条Ni,k(t)。它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量T=[t0,t1,...,tn+k]。
(2)性质
1)局部支承性。
2)权性
3)微分公式。
(3)B样条曲线类型的划分
曲线按其首末端点是否重合,区分为闭曲线和开曲线。闭曲线又区分为周期和非周期两种情形,周期闭曲线与非周期闭曲线的区别是:前者在首末端点是C2连续的,而后者一般是C0连续的。非周期闭曲线可以认为是开曲线的特例,按开曲线处理。
B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况,可划分为四种类型。假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1,...,n),阶数为k(次数为k-1),则节点矢量是  T=[t0,t1,...,tn+k]。
1)均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布,所有节点区间长度
样条基。下图是均匀B样条曲线实例。
三次均匀的B样条曲线
2)准均匀的B样条曲线
与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k,这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。
    均匀B样条曲线在曲线定义域内各节点区间上具有用局部参数表示的统一的表达式,使得计算与处理简单方便。但用它定义的均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质,即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线就是为了解决这个问题,使曲线在端点的行为有较好的控制。
如图所示:准均匀三次B样条曲线