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多元积分应用弧长面积体积行改.ppt

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文档列表 文档介绍

一、微元法
(1) 所求量 Q 分布在区域上,且对具有可加性:
i
QQi
Q=Qi
(2)当 i 很小时,近似地有Qi  f (Xi)i
dQ=f (X)d
二、弧长
例1. 求空间曲线: x=3t, y=3t2, z=2t3从点(0, 0, 0) 到点(3, 3, 2)的一段弧长
三、面积
1. 平面图形面积
例2. 求由抛物线y=(x2)2+1, 直线y=2x所围图形的面积.
解:
y=(x2)2+1
y=2x
(1, 2), (5, 10)
y=2x
y=(x2)2+1
10
0
1
2
5
2
5
2. 曲面面积
(1): z=z(x, y), 投影区域Dxy且 z(x, y)C 1(Dxy).
思考问题
Dxy

x
y
z
0
(2): x=x(y, z), 投影区域Dyz
(3): y=y(x, z), 投影区域Dxz
例3:求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.
y
z
x
解:A=4A1
:
Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
z
y
x
Dxy

z
y
x
Dxy

 A=4A1=2(2)a2
例4. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.
z=x2
2
0
1
x
y
z
Dxy

一般地,由曲线 z=(x)(0<a≤x≤b)绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积为
其中 D={(x, y)|a2≤x2+y2 ≤b2}
转化为极坐标有

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