第五节线性方程组
一、高斯消元法
二、线性方程组解的判定定理
三、小结
设含有n个未知量m个方程的线性方程组
则称此方程组为非
齐次线性方程组;
此时称方程组为齐次线性方程组.
非齐次与齐次线性方程组的概念
(1)式可以写成矩阵方程形式
其中
系数矩阵
变量列矩阵
常数列矩阵
记
称为线性方程组(1)的增广矩阵.
(1)各非零行的首非零元都是1.
定义若行阶梯形矩阵进一步满足如下两个条件:
(2)所有首非零元所在列的其余元素都是0.
则称该行阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵(行最简形矩阵).
注: 任意一个行阶梯形矩阵都可经过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵;即任意一个矩阵都可经过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵.
(1)若矩阵有零行(元素全为零的行),零行全部在矩阵的下方.
定义5 满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵.
(2)非零行的第一个非零元素(称为首非零元)的列标随着行标的增大严格增大.
即(1)没有一个非零行出现在零行下方.
(2)每个非零行的首非零元总出现在上一行首非零元右边.
是
是否为行简化阶梯形矩阵?
不是
不是
是
一、线性方程组的消元解法(高斯消元法)
例1 解线性方程组
结论: 高斯消元法的过程实际上是增广矩阵实行初等行变换化为行简化阶梯形矩阵,最后还原为最简线性方程组,从而写出方程组的.
例2 解线性方程组
注: ,x4为自由未知量,用自由未知量表示其他未知量的表示式称为原方程组的一般解或通解.
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二、线性方程组解的判定定理
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